若干方程族的可積系統(tǒng)與達(dá)布變換.pdf

1、可積耦合系統(tǒng)是現(xiàn)代非線性學(xué)科的一個(gè)熱門(mén)研究?jī)?nèi)容，利用它能推導(dǎo)出許多有實(shí)際研究?jī)r(jià)值的非線性演化方程。目前學(xué)者們從反對(duì)稱矩陣?yán)畲鷶?shù)的角度出發(fā)，基本都是圍繞著2×2矩陣譜問(wèn)題進(jìn)行研究，而對(duì)4×4矩陣譜問(wèn)題的研究工作討論的還比較少。達(dá)布變換是求解非線性孤子方程的一種常用工具，學(xué)者們基本都是圍繞著一般的方程族進(jìn)行研究，而對(duì)復(fù)雜的3×3薛定諤方程，超可積方程的達(dá)布工作討論的還比較少。針對(duì)上述的問(wèn)題，本文主要的研究?jī)?nèi)容如下：
　　在第二章中,巧

2、妙利用6個(gè)基元獲得新的loop代數(shù)，將2×2 AKNS方程族的Lax對(duì)擴(kuò)張成4×4 AKNS方程族的Lax對(duì)，進(jìn)而獲得其可積耦合系統(tǒng)。首先，構(gòu)建一個(gè)4×4的反對(duì)稱李代數(shù)。然后，利用伴隨零曲率方程獲得遞推算子L，選定合適的初始值帶入遞推方程中，得到一個(gè)新的可積耦合方程族和廣義的AKNS方程。最后，應(yīng)用跡恒等式和屠格式，成功地建立了擴(kuò)張的AKNS方程族的Hamiltonian結(jié)構(gòu)。
　　目前學(xué)者們從反對(duì)稱矩陣?yán)畲鷶?shù)的角度出發(fā)，基本都是

3、圍繞著1+1維可積系統(tǒng)進(jìn)行研究，而對(duì)2+1維可積系統(tǒng)的研究工作討論的還比較少。我們針對(duì)一個(gè)2+1維AKNS方程的等譜問(wèn)題，利用伴隨零曲率方程獲得相應(yīng)的遞推方程，選定恰當(dāng)?shù)某跏贾?，?yīng)用屠格式，得到一個(gè)新的2+1維AKNS方程族。
　　在第三章中,首要先探索復(fù)雜的3×3矩陣譜問(wèn)題的達(dá)布變換及求解，將從3×3矩陣的譜問(wèn)題著手，構(gòu)建耦合非線性薛定諤方程的達(dá)布變換。接著主要圍繞著超可積方程的Lax對(duì)，以超AKNS方程，超Dirac方程的等譜