由弱基定義的空間及其相關(guān)結(jié)果.pdf

1、映射與空間的分類原則，即A1exandroff-Arhangel'skji思想在于用映射作工具揭示各種拓?fù)淇臻g類的內(nèi)在規(guī)律，許多拓?fù)鋵W(xué)家跟隨該思想，研究度量空間在各映射類下的象和逆象的內(nèi)在特征． 弱基是由A.V.Arhangel'skii引入的，它是廣義度量空間理論中的一個(gè)重要概念．由弱基可定義各種空間，它們都屬于廣義度量空間，其中g(shù)可度量空間(即具有σ-局部有限弱基的空間)，就得到了F.Siwiec、Y.Tanaka、L.Fo

2、ged、林壽、劉川等國(guó)內(nèi)外拓?fù)鋵W(xué)者的深入研究，得到不少滿意的結(jié)果． 本論文旨在研究其它一些由弱基可定義的空間，分為五個(gè)部分： 第一部分包括第一章，我們回顧了問題產(chǎn)生的背景及發(fā)展概況，簡(jiǎn)要綜述了本文的主要工作，同時(shí)介紹了一些預(yù)備知識(shí)． 第二部分包括第二、四、五、六章，我們給出了由弱基定義的各種空間，即具有一致弱基的空間、具有σ-局部可數(shù)弱基的空間、具有局部可數(shù)弱基的空間和具有σ-緊有限弱基的空間的內(nèi)部特征．并且，利

3、用弱開映射、π映射、msss映射、ss映射、msk映射、一些復(fù)蓋映射等建立了它們與度量空間之間的聯(lián)糸，其中msk映射是我們引入的． 第三部分包括第三章，我們給出了度量空間的弱開π映象的內(nèi)部特征，證明了度量空間的弱開開映象等價(jià)于g-可展空間． 第四部分包括第七章，我們給出了g可度量空間的一個(gè)新映射定理． 第五部分包括第八章，我們引入了弱緊k網(wǎng)絡(luò)的概念，給出了局部緊度量空間的閉映象的一個(gè)新特征． 主要結(jié)果如下

4、； 定理2.2.1對(duì)于空間X，下述條件是等價(jià)的： (1)X具有一致弱基； (2)X是具有一致cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間； (3)X具有由點(diǎn)有限cs覆蓋構(gòu)成的弱展開； (4)X是度量空間的弱開緊映象． 定理3.2.1對(duì)空間X，下述條件是等價(jià)的； (1)X是度量空間的弱開π映象； (2)X具有由cs覆蓋組成的弱展開； (3)X具有由sn覆蓋組成的弱展開； (4)X

5、是Cauchy空間； (5)X是g可展空間． 定理4.2.1空間X具有σ-局部可數(shù)弱基，當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的弱開msss映象． 定理4.2.2對(duì)于空間x，下述條件(1)<=>(2)=>(3)成立． (1)X具有σ-局部可數(shù)弱基； (2)X是具有σ-局部可數(shù)cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間； (3)X是具有σ-局部可數(shù)k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間； 定理5.2.7對(duì)于空間X，下述條件是等價(jià)的；

6、 (1)X具有局部可數(shù)弱基； (2)X是局部可分度量空間的緊覆蓋、商、緊、ss映象； (3)X是局部可分度量空間的商、緊、ss映象； (4)X是局部可分度量空間的商、π、ss映象； (5)X是局部可分度量空間的1序列覆蓋、商、ss映象． 定理6.2.3對(duì)空間X，下述條件(1)<=>(2)<=>(3)=>(4)成立． (1)X具有σ-緊有限弱基； (2)X是具有σ-緊有限sn網(wǎng)

7、絡(luò)的k空間； (3)X是具有σ-緊有限cs網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間； (4)X是具有σ-緊有限k網(wǎng)絡(luò)的g第一可數(shù)空間． 定理6.2.4空間X具有σ-緊有限弱基當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的1序列覆蓋商msk映象． 定理7.2.3對(duì)于空間X，下述條件是等價(jià)的； (1)X是g可度量空間； (2)X是度量空間的強(qiáng)序列覆蓋、商、π、σ映象； (3)X是度量空間的序列覆蓋、商、π、σ映象； (4