非高斯隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的定量刻畫――逃逸時(shí)間、逃逸概率和概率密度的演化.pdf

1、在工程與應(yīng)用科學(xué)中，環(huán)境、輸入的初始條件、邊界條件等隨機(jī)因素都有可能造成動(dòng)力系統(tǒng)的不確定性。Gaussian白噪聲和non-Gaussian白噪聲，是建立隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型中常用的。其中Gaussian白噪聲是最簡單但很常見的一類噪聲，Brownian運(yùn)動(dòng)是它的數(shù)學(xué)模型，廣泛的應(yīng)用于各種具有不確定性的復(fù)雜系統(tǒng)。然而在氣候變化、海洋生物的覓食行為模式、基因調(diào)控系統(tǒng)中mRNA和蛋白質(zhì)的反應(yīng)等復(fù)雜系統(tǒng)中，都包含了non-Gaussian白噪聲。L

2、évy過程被認(rèn)為是研究non-Gaussian擾動(dòng)的一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，而α-穩(wěn)定的Lévy過程又是一類特殊但重要的non-Gaussian Lévy過程。本文中，考慮由Brownian運(yùn)動(dòng)和L′evy過程驅(qū)動(dòng)，共同驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，通過平均首次逃逸時(shí)間，首次逃逸概率，隨機(jī)吸引域和概率密度的演化等量化指標(biāo)，定量地刻畫隨機(jī)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)信息和動(dòng)力學(xué)性態(tài)。
　　本文的結(jié)構(gòu)安排如下：
　　第一章，對(duì)隨機(jī)分析中的一些基本理論進(jìn)行了回顧

3、，介紹了Brownian運(yùn)動(dòng)和Lévy過程的一些性質(zhì)和定理，以及隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的基本定義和概念。
　　第二章，考慮一個(gè)自我調(diào)節(jié)的正反饋基因調(diào)控系統(tǒng)，建立一個(gè)隨機(jī)微分方程模型，研究在蛋白質(zhì)基本合成反應(yīng)的時(shí)候，產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲對(duì)轉(zhuǎn)錄因子活化子隨時(shí)間變化的濃度的影響。這種隨機(jī)噪聲，嘗試用Brownian運(yùn)動(dòng)和一個(gè)純跳的α-穩(wěn)定的Lévy過程，共同來模擬。兩個(gè)確定性的量，平均首次逃逸時(shí)間和首次逃逸概率，被用來分析，在噪聲影響下，轉(zhuǎn)錄因子活化子

4、從低濃度狀態(tài)向高濃度狀態(tài)的轉(zhuǎn)移行為。平均首次逃逸時(shí)間越短，或者首次逃逸概率越大，就越有利于轉(zhuǎn)移到高濃度狀態(tài)，從而也更利于轉(zhuǎn)錄發(fā)生。通過數(shù)值試驗(yàn)可以觀察到，Lévy過程的較大的跳躍幅度，以及較大的噪聲強(qiáng)度都有助于縮短逃逸時(shí)間。對(duì)轉(zhuǎn)移概率的研究，根據(jù)逃逸區(qū)域和目標(biāo)逃逸區(qū)域是否相鄰，分為兩種情況。數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果顯示，純跳的α-穩(wěn)定的Lévy過程對(duì)轉(zhuǎn)錄因子活化子的濃度，轉(zhuǎn)移到一個(gè)指定的區(qū)域更具有優(yōu)勢。當(dāng)兩種噪聲的噪聲強(qiáng)度總數(shù)是不變的時(shí)候，對(duì)于每一

5、個(gè)可以觀察到的初始濃度，存在最佳的一個(gè)Gaussian白噪聲和non-Gaussian白噪聲的噪聲比值，在這個(gè)比值下，平均首次逃逸時(shí)間和首次逃逸概率的達(dá)到最大值。
　　第三章，考慮將確定性系統(tǒng)中吸引域的穩(wěn)定性這個(gè)概念，延伸到隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中?？紤]用吸引域的大小來度量隨機(jī)狀態(tài)的穩(wěn)定性，從而來描述在隨機(jī)噪聲的影響下，狀態(tài)的亞穩(wěn)態(tài)性。為此提出一個(gè)新的概念：隨機(jī)吸引域?？紤]到亞穩(wěn)態(tài)性是一種轉(zhuǎn)移的現(xiàn)象，用首次逃逸概率和平均首次逃逸時(shí)間這兩個(gè)刻

6、畫量來作為判定這個(gè)隨機(jī)吸引域大小的標(biāo)準(zhǔn)。給出了隨機(jī)吸引域的兩種定義：隨機(jī)吸引域是這樣一些初始值的集合，這些初始值以一個(gè)很高的概率逃逸到一個(gè)隨機(jī)意義下的不變集，在這個(gè)不變集中，隨機(jī)軌道不會(huì)以大的概率逃逸出去，或者隨機(jī)軌道以有限長的時(shí)間的停留在原來區(qū)域。依然考慮自我調(diào)節(jié)的正反饋轉(zhuǎn)錄因子活化子單體濃度模型，通過數(shù)值試驗(yàn)，得到逃逸概率、首次逃逸時(shí)間這些標(biāo)準(zhǔn)、以及L′evy過程的穩(wěn)定指標(biāo)α對(duì)隨機(jī)吸引域大小的影響。
　　第四章，考慮一種更為普

7、遍的，在Marcus積分意義下的隨機(jī)微分方程，廣泛地應(yīng)用于工程和物理，同時(shí)它也是對(duì)由non-Gaussian Lévy過程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的恰當(dāng)?shù)慕?。隨機(jī)微分方程解的概率密度函數(shù)包含了這個(gè)隨機(jī)過程所有統(tǒng)計(jì)信息，通常，是研究密度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck方程。目前，針對(duì)于由Brownian運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的It(?o)SDEs，或者Stratonovich SDEs，它們所對(duì)應(yīng)的Fokker-Planck方程的顯式表達(dá)，已經(jīng)十分完