二元函數(shù)概念、極限、連續(xù)

1、二元函數(shù)概念、極限、連續(xù),北京師范大學(xué)珠海分校2004.12.23歐陽(yáng)順湘改編自網(wǎng)上材料,§2 多元函數(shù)的極限與連續(xù),一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性,（1） (直線(xiàn)上的)鄰域,回憶,（1）（平面上的）鄰域,,,,°,°,（2）區(qū)間,,開(kāi)區(qū)間,閉區(qū)間,開(kāi)區(qū)間與閉區(qū)間的區(qū)別,（2）區(qū)域,例如，,即為開(kāi)集．,內(nèi)點(diǎn).,內(nèi)點(diǎn)：,開(kāi)集：,開(kāi)集.,邊界點(diǎn)：,邊界點(diǎn).,外點(diǎn)：,常見(jiàn)集合,

2、1維、2 維空間,實(shí)數(shù) x,數(shù)軸點(diǎn).,數(shù)組 (x, y),實(shí)數(shù)全體表示直線(xiàn)(一維空間),平面點(diǎn),(x, y) 全體表示平面(二維空間),,A與B的卡氏積（Cartesian Product）卡氏集,無(wú)邊和有邊的矩形（長(zhǎng)方形）區(qū)域,連通：,連通的.,,,,,開(kāi)區(qū)域：連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域．,例如，,例如，,閉區(qū)域：,常見(jiàn)開(kāi)區(qū)域、閉區(qū)域,常見(jiàn)開(kāi)區(qū)域、閉區(qū)域,推廣到多維,,n 維空間,實(shí)數(shù) x,數(shù)軸點(diǎn).,數(shù)組 (x, y),實(shí)數(shù)全體表示

3、直線(xiàn)(一維空間),平面點(diǎn),(x, y) 全體表示平面(二維空間),數(shù)組 (x, y, z),空間點(diǎn),(x, y, z) 全體表示空間(三維空間),推廣：,n 維數(shù)組 (x1, x2, … , xn),全體稱(chēng)為 n 維空間，記為,n 維空間中兩點(diǎn)間距離公式,設(shè)兩點(diǎn)為,特殊地，當(dāng) n =1, 2, 3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩 點(diǎn)間的距離．,n 維空間中鄰域概念：,區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．,,對(duì)于點(diǎn)集

4、E，如果存在正數(shù) K，使一切點(diǎn) P∈E 與某一點(diǎn) A 間的距離 |AP| 不超過(guò) K，即,對(duì)于一切點(diǎn) P∈E 成立，則稱(chēng) E 為有界點(diǎn)集。否則稱(chēng)為無(wú)界點(diǎn)集.,有界閉區(qū)域；,無(wú)界開(kāi)區(qū)域．,例如，,,二元函數(shù)定義,問(wèn)題提出,一 問(wèn)題的提出,觀察幾個(gè)例子,例1 理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強(qiáng)P成反比，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出,（其中R是比例常數(shù)）,例2 三角形的面積A依賴(lài)于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的

5、夾角C，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出,這兩個(gè)例子的實(shí)質(zhì)是依賴(lài)于多個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系。,（5）一元函數(shù)的定義,回憶,類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)．,函數(shù)的兩個(gè)要素:,定義域、對(duì)應(yīng)法則.,與一元函數(shù)相類(lèi)似，對(duì)于定義域約定：,定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.,例1 求 的定義域．,解,所求定義域?yàn)?（6）二元函數(shù) 的圖形,（如下頁(yè)圖）,二元函數(shù)的圖形通常

6、是一張曲面.,,,y,.,o,x,,,z,,,.,旋轉(zhuǎn)拋物面,,二元函數(shù)的極限,,二元函數(shù)的極限的直觀定義,設(shè)函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn) 的某空心領(lǐng)域內(nèi)有定義. 如果當(dāng)點(diǎn) P(x,y) 無(wú)限趨近于 時(shí)，函數(shù) f(x,y) 無(wú)限趨近與一個(gè)常數(shù) A，則稱(chēng)當(dāng) P(x,y) → 時(shí)，f(x,y) 以 A

7、為極限，記作,二元函數(shù)的極限的記號(hào),,二元函數(shù)的極限的數(shù)學(xué)定義(epsilon-delta),,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將下面的語(yǔ)句嚴(yán)格化,例2 求證,證,當(dāng) 時(shí)，,原結(jié)論成立．,,,說(shuō)明：,（1）定義中 的方式是任意的；,（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限,（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似．,（4）二重極限的幾何意義：,?? > 0，?P0 的去心? 鄰域,在,內(nèi)，函數(shù),

8、的圖形總在平面,及,之間。,注意： 是指 P 以任何方式趨于P0 .,一元中,多元中,,,,確定極限不存在的方法：,例3 設(shè),例3 設(shè),解,但取,其值隨 k 的不同而變化。,不存在．,故,例3 設(shè),解 教材中解法,例4 求,解,二元函數(shù)的連續(xù)性,,二元函數(shù)的連續(xù)性,則稱(chēng)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù).,二元函數(shù)的連續(xù)性,定義3′,函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性,如果函

9、數(shù) f(x,y) 在其定義域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)函數(shù) f(x,y) 在 D 上連續(xù). 直觀上，區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)的圖形是區(qū)域 D 上的一張無(wú)孔無(wú)縫的連續(xù)曲面,函數(shù)的間斷和間斷點(diǎn),如果函數(shù) f(x,y) 在點(diǎn) (x_0, y_0) 處不連續(xù)，就稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn) (x_0,y_0) 處間斷，點(diǎn)(x_0, y_0) 稱(chēng)為間斷點(diǎn)。,例如，,因此，,閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最