第三章導(dǎo)數(shù)與微分

1、微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,1,§3.1 導(dǎo)數(shù)的概念,§3.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則,§3.3 微分,§3.4 高階導(dǎo)數(shù)和高階微分,第三章 導(dǎo)數(shù)與微分,§3.5 邊際與彈性,本章計(jì)劃課時(shí): 14課時(shí),如果你月薪僅2000元，想在廈門買一套一百多平的房子和一輛奧迪A6，那么你不妨先給自己定個(gè)小目標(biāo)，比如說(shuō)我先活他個(gè)250年，然后向天再借500年。古時(shí)候的打劫：“此山是我

2、開，此樹是我栽，要想從此過(guò)，留下買路財(cái)?！边@語(yǔ)言是多么的粗魯， 經(jīng)過(guò)上千年的文明洗禮，到了當(dāng)今社會(huì)，語(yǔ)言變得多么文明貼心：“前方500米收費(fèi)站，請(qǐng)減速慢行………”我做錯(cuò)什么要來(lái)到這個(gè)學(xué)校？ 你做錯(cuò)了題,2,"做題的時(shí)候首先要想出題者的意圖" "他想讓我死"“你們夫妻每月掙多少？” “我月收入一萬(wàn)，加上我老婆，可以到兩千?！?排隊(duì)中，一妹子插隊(duì)，一大姐怒了：你為什么插

3、隊(duì)??！妹子說(shuō)：因?yàn)槲覜](méi)素質(zhì)。大姐于是大嘴巴子抽了她一耳光，妹子捂著臉說(shuō)：你為什么抽我？??！ 大姐回答說(shuō)：因?yàn)槲矣胁?3,大學(xué)的時(shí)候，剛進(jìn)學(xué)校。學(xué)校讓我們填一份自我簡(jiǎn)介，里面包括體育強(qiáng)項(xiàng)。同桌告訴我不要寫那種運(yùn)動(dòng)會(huì)用的到的項(xiàng)目，不然以后運(yùn)動(dòng)會(huì)會(huì)強(qiáng)迫你參加。于是我們寫的是高爾夫、網(wǎng)球、滑雪之類的，本想轉(zhuǎn)過(guò)身去提醒后面玩的好的男生，結(jié)果一看他寫的體育強(qiáng)項(xiàng)是雙腳踩燈泡、胸口碎大石.....我媽挖了一勺西瓜沒(méi)拿穩(wěn)，掉地上了，她撿起來(lái)就

4、要往我嘴里塞，看見(jiàn)我很詫異地看著她，突然反應(yīng)過(guò)來(lái)笑著說(shuō)：“不好意思啊，我還以為你還是小時(shí)候呢…”?。。⊥蝗桓杏X(jué)胸口有點(diǎn)疼?。?！,4,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,5,§3.1 導(dǎo)數(shù)的概念,引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度,一、引例,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,6,（1）當(dāng)物體作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),（2）當(dāng)物體作變速運(yùn)動(dòng)時(shí),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,7,引例2 —— 平面曲線切線的斜率,割線 MN 的斜率為：,微

5、積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,8,割線 MN 的極限位置 MT 稱為曲線 L 在點(diǎn) M 處的切線。,切線 MT 的斜率為：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,9,二、導(dǎo)數(shù)的定義,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,10,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,11,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,12,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,13,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,14,,,,,,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分

6、,15,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,16,四、單邊（側(cè)）導(dǎo)數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,17,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,18,同樣單邊導(dǎo)數(shù)定義式也可簡(jiǎn)化為：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,19,解,思考,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,20,五、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理2.1,即,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,21,解,問(wèn)題：連續(xù)是否一定可導(dǎo)？,微積分 第三章　

7、導(dǎo)數(shù)與微分,22,,,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,23,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,24,函數(shù)在其可導(dǎo)的點(diǎn)處一定連續(xù),函數(shù)在其不連續(xù)的點(diǎn)處一定不可導(dǎo),函數(shù)在其連續(xù)的點(diǎn)處不一定可導(dǎo),結(jié)論,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,25,六、用定義求導(dǎo)數(shù),同樣單邊導(dǎo)數(shù)定義式也可簡(jiǎn)化為：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,26,解,常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零,解,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,27,,例3. 求指數(shù)函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解

8、,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,28,解,特別地,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,29,解,正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于余弦函數(shù).,類似得,,余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于負(fù)的正弦函數(shù).,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,30,注：分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)必須用定義求,,例6. 設(shè)函數(shù),解,因?yàn)?微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,31,例7.,解,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,32,方法一：,例8.,解,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分

9、,33,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,34,方法二：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,35,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,36,解,例9.,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,37,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知,所求切線的斜率為:,解,例11.,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,38,§3.2 求導(dǎo)基本公式與求導(dǎo)運(yùn)算法則,一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,39,證: 設(shè),則有,故結(jié)論成立.

10、,推論:,( C為常數(shù) ),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,40,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,41,證畢.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,42,例1.,解,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,43,解:,例2.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,44,解,例3.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,45,例4.,解,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,46,解,例5.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,47,常用公

11、式：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,48,二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,49,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,50,解,例5.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,51,解,例6.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,52,三、基本導(dǎo)數(shù)的公式,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,53,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,54,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,55,Guess,四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

12、,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,56,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,57,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,58,法則5(鏈法則),外層函數(shù),內(nèi)層函數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,59,證,知,由極限與無(wú)窮小關(guān)系知,于是,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,60,即,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,61,解.,例1,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,62,,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與

13、微分,63,解,例2.,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,64,解,例3.,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,65,例4.,解,,例如,,,,,關(guān)鍵: 搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多重復(fù)合的情形.,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,67,解,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,68,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,69,解,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,70,解,微積分

14、 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,71,例8,解,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,72,稱這類函數(shù)為隱函數(shù).,二、隱函數(shù)求導(dǎo)法,,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,73,解,例9,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,74,解,例10,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,75,解,例11,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,76,三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,兩類函數(shù),,有簡(jiǎn)便求,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,77,例13 求,的導(dǎo)數(shù) .,解

15、 兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱函數(shù),兩邊對(duì) x 求導(dǎo),,1) 對(duì)冪指函數(shù),可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :,說(shuō)明:,,,注意:,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,79,解法2 將函數(shù)化為復(fù)合函數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,80,,對(duì) x 求導(dǎo),,兩邊取對(duì)數(shù),例12,有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .,例13,,兩邊取對(duì)數(shù),,兩邊對(duì) x 求導(dǎo),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,82,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,83,例

16、15,解 兩邊取對(duì)數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,84,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,85,速度,即,加速度,即,引例：變速直線運(yùn)動(dòng),3.4 高階導(dǎo)數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,86,記作：,或,即,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做三階導(dǎo)數(shù)，,記作：,或,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,87,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，叫做四階導(dǎo)數(shù)，,記作：,或,記作：,或,二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。,,,,證明,所以,2015年1

17、月,江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院,88,隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),解,2015年1月,江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院,89,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,90,隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,91,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,92,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,93,幾個(gè)初等函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù),解,2015年1月,江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院,94,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,95,微積分 第三章　

18、導(dǎo)數(shù)與微分,96,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,97,解,函數(shù)可轉(zhuǎn)化為,思考,2015年1月,江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院,98,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,99,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,100,由上面各階導(dǎo)數(shù)可以得到,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,101,二、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則,(C為常數(shù)),萊布尼茲(Leibniz) 公式,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,102,例7.,求,

19、解: 設(shè),則,代入萊布尼茲公式 , 得,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,103,小結(jié),高階導(dǎo)數(shù)的求法,(1) 逐階求導(dǎo)法,(2) 利用歸納法,(3) 間接法,—— 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,如：,(4) 利用萊布尼茲公式,104,練一練,2015年1月,江西財(cái)經(jīng)大學(xué)信息管理學(xué)院,105,解答,106,107,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,108,面積的改變量：,一、微分的引進(jìn),§3.5 微分,,微積分

20、 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,109,,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,110,二、微分的定義,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,111,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,112,(充分性),即,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,113,說(shuō)明:,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,114,注意：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,115,三、基本微分公式與微分法則,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,116,微分法則：,則,微積分

21、 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,117,微分法則：,設(shè),都可微，,則,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,118,復(fù)合函數(shù)的微分法則：,所以,即微分形式的不變性,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,119,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,120,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,121,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,122,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,123,四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,由微分定義知,,(1),即,微積分

22、 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,124,解: 設(shè),取,則,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,125,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,126,即在生產(chǎn)100單位產(chǎn)品的基礎(chǔ)上再多生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本會(huì)增加2.96,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,127,可證,當(dāng),很小時(shí),有近似公式:,(4),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,128,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,129,解:,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,130,&

23、#167;3.6 邊際與彈性,一、邊際的概念,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,131,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,132,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,133,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,134,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,135,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,136,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,137,二、彈性函數(shù),1、彈性的概念,彈性的意義：,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,13

24、8,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,139,冪函數(shù)在任意點(diǎn)的彈性不變稱為不變彈性函數(shù),微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,140,2、彈性的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,(1) 需求價(jià)格彈性,注意,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,141,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,142,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,143,(2)供給價(jià)格彈性,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,144,(3) 收益價(jià)格彈性,微積分 第三章　導(dǎo)數(shù)與微分,1