高中數學典型例題解析導數及其應用

1、高中數學典型例題分析高中數學典型例題分析第十章第十章導數及其應用導數及其應用10.110.1導數及其運算導數及其運算一、知識導學一、知識導學1.瞬時變化率：設函數)(xfy?在0x附近有定義，當自變量在0xx?附近改變量為x?時，函數值相應地改變)()(0xfxxfy?????，如果當x?趨近于0時，平均變化率xxfxxfxy???????)()(00趨近于一個常數c（也就是說平均變化率與某個常數c的差的絕對值越來越小，可以小于任意小的

2、正數），那么常數c稱為函數)(xf在點0x的瞬時變化率。2.導數：當x?趨近于零時，xxfxxf????)()(00趨近于常數c?？捎梅枴?”記作：當0??x時，xxfxxf????)()(00c?或記作cxxfxxfx???????)()(lim000，符號“?”讀作“趨近于”。函數在0x的瞬時變化率，通常稱作)(xf在0xx?處的導數，并記作)(0xf?。3.導函數：如果)(xf在開區(qū)間)(ba內每一點x都是可導的，則稱)(xf在

3、區(qū)間)(ba可導。這樣，對開區(qū)間)(ba內每個值x，都對應一個確定的導數)(xf?。于是，在區(qū)間)(ba內，)(xf?構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數)(xfy?的導函數。記為)(xf?或y?（或xy?）。4.導數的四則運算法則：1）函數和（或差）的求導法則：設)(xf，)(xg是可導的，則)()())()((xgxfxgxf??????即，兩個函數的和（或差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（或差）。2）函數積的求導法則：設)

4、(xf，)(xg是可導的，則)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf?????即，兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數)(0xf?表示0)(xxxf?在處的導數，即)(0xf?是函數在某一點的導數；)(xf?表示函數)(xf在某給定區(qū)間)(ba內的導函數，此時)(xf?是在)(ba上x的函數，即)(xf?是在)(ba內任一點的導數。5.導數與連續(xù)的關系若函數)(xfy?在0x處可導，則此函數在點0x處連續(xù)，但逆命題不成立

5、，即函數)(xfy?在點0x處連續(xù)，未必在0x點可導，也就是說，連續(xù)性是函數具有可導性的必要條件，而不是充分條件。6.可以利用導數求曲線的切線方程由于函數)(xfy?在0xx?處的導數，表示曲線在點))((00xfxP處切線的斜率，因此，曲線)(xfy?在點))((00xfxP處的切線方程可如下求得：（1）求出函數)(xfy?在點0xx?處的導數，即曲線)(xfy?在點))((00xfxP處切線的斜率。（2）在已知切點坐標和切線斜率的條

6、件下，求得切線方程為：))((000xxxfyy????，如果曲線)(xfy?在點))((00xfxP的切線平行于y軸（此時導數不存在）時，由切線定義可知，切線方程為0xx?.三、經典例題導講三、經典例題導講[例1]1]已知2)2cos1(xy??則??y.[例2]2]已知函數????????????)1)(1(21)1)(1(21)(2xxxxxf判斷f(x)在x=1處是否可導？分析：分析：分段函數在“分界點”處的導數，須根據定義來判