三次函數(shù)的性質(zhì)-總結(jié)練習(xí)

1、1三次函數(shù)的性質(zhì)三次函數(shù)的性質(zhì)三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd（a≠0）在高中階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后頻繁出現(xiàn)，同時(shí)也是其他復(fù)雜函數(shù)的重要組成部分，因此有必要對(duì)其性質(zhì)有所了解，才可以做到知己知彼，百戰(zhàn)不殆性質(zhì)一性質(zhì)一單調(diào)性單調(diào)性以a0為例，如圖1，記Δ=b2?3ac為三次函數(shù)圖象的判別式，則圖1用判別式判斷函數(shù)圖象當(dāng)Δ?0時(shí)，f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)Δ0時(shí)，f(x)會(huì)在中間一段單調(diào)遞減，形成三個(gè)單調(diào)區(qū)間以及兩個(gè)極值性質(zhì)一的證明性質(zhì)一的

2、證明f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3ax32bxc其判別式為4(b2?3ac)，進(jìn)而易得結(jié)論例1設(shè)直線設(shè)直線l與曲線與曲線y=x3x1有三個(gè)不同的交點(diǎn)有三個(gè)不同的交點(diǎn)ABC，且，且|AB|=|BC|=5√，求直線，求直線l的方程的方程解由|AB|=|BC|可知B為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，由性質(zhì)一可得B(01)，進(jìn)而不難求得直線l的方程y=2x1性質(zhì)二性質(zhì)二對(duì)稱性對(duì)稱性如圖2，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(?b3af(?b3a))對(duì)稱（特別地，極值

3、點(diǎn)以及極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖象上的點(diǎn)也關(guān)于P對(duì)稱）圖2圖象的對(duì)稱性反之，若三次函數(shù)的對(duì)稱中心為(mn)，則其解析式可以設(shè)為3推論推論1設(shè)P是f(x)上任意一點(diǎn)（非對(duì)稱中心），過P作函數(shù)f(x)圖象的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、P，如圖則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)平分P、N點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖4圖4切割線性質(zhì)推論一推論推論2設(shè)f(x)的極大值為M，方程f(x)=M的兩根為x1、x2（x1x2），則區(qū)間[x1x2]被?b3a和極小值點(diǎn)三等分圖5切割線性質(zhì)推論二

4、性質(zhì)三的證明性質(zhì)三的證明設(shè)f(x)=ax3bx2cxd（a≠0），直線PT:y=k0xm0，直線PAB:y=kxm，則分別將直線PT與直線PAB的方程與三次函數(shù)的解析式聯(lián)立，得ax3bx2(c?k0)xd?m0=0ax3bx2(c?k)xd?m=0于是根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理可得2xTxP=xAxBxP即xT=xAxB2于是命題得證推論1和推論2的證明留給讀者例3如圖如圖6，記三次函數(shù)，記三次函數(shù)f(x)=ax3bx2cxd（a≠0）的圖