基本不等式的變形及應(yīng)用

1、基本不等式基本不等式的變式及應(yīng)用的變式及應(yīng)用abba222??不等式是課本中的一個(gè)定理，它是重要的基本不等式之一，對(duì)于它及abba222??它各種變式的掌握與熟練運(yùn)用是求解很多與不等式有關(guān)問題的重要方法，這里介紹它的幾種常見的變式及應(yīng)用1、十種變式①；②；222baab??2)2(baab??③；④2)2(222baba???)(222baba???⑤若，則；⑥則0?bbaba??22??Rbababa???411⑦若⑧若，則abbaR

2、ba4)11(2????0?ab222)11(2111baba???上述不等式中等號(hào)成立的充要條件均為：ba?⑨若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）RbaRnm???nmbanbma????222)(bman?⑩（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）)(3)(2222cbacba?????cba??2、應(yīng)用例1、若，且，求證：??Rcba2???cba4111??????cba證法一：由變式①得即21111?????aa121???aa同理：，121???bb

3、121???cc因此12111???????acba41212?????cb由于三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，故4111??????cba評(píng)論：評(píng)論：本解法應(yīng)用“”觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某一字母左邊是222baab??一次式，而右邊是二次式，顯然，這個(gè)變式具有升冪與降冪功能，本解法應(yīng)用的是升冪功能。解析：結(jié)合變式⑨得?234)7(3)3(4)4(222???????baba因此即14714?????ba147147?????ba

4、當(dāng)且僅當(dāng)、再結(jié)合條件得及時(shí)，)3(4)4(3???ba???????????7144471433ba???????????7144471433ba分別獲得最小值與最大值；評(píng)論：評(píng)論：由再結(jié)合2222222()()ambnmnabnmnammnb???????2()mnab?即得變式⑨，這可是一個(gè)很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產(chǎn)生的mnR??一個(gè)特殊分式的關(guān)系，它的靈活應(yīng)用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問題，也為我們處理圓錐

5、曲線問題中的最值問題開辟了新的途徑。例4、已知，且，求的最小值)22(??yx1??xy229944yxu????解析：由變式⑥229944yxu?????????????)91()41(49114112222yxyx5123124)94(2422?????yx上述兩不等式當(dāng)且僅當(dāng)、再結(jié)合得或時(shí)，3||2||yx?1??xy??????????3626yx??????????3626yx取得最小值；評(píng)論：評(píng)論：由結(jié)合兩邊同除以222()