立體幾何中的一個經(jīng)典模型

1、1立體幾何中的一個經(jīng)典幾何模型由四個直角三角形圍成的四面體是一個經(jīng)典的幾何模型i，俗稱“三節(jié)棍”模型，如圖1四面體中，ABCD?ABCABD??均為直角.我們研究它的產(chǎn)生背BDCADC??景、各面所成的角及其棱所在直線與相關(guān)面所成的角的性質(zhì)，為此，定義為底面，BDC?為斜面，為主垂面，為副垂ADC?ABC?ABD?面.(主副垂面之分在于)為BCBD?AC的主斜線，為副斜線，它們在BDC?ADBDC?底面內(nèi)的攝影也分別稱作主射影和BCBD

2、和副射影.設(shè)ACB???BCD???.ACD???這個模型的幾何結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定，在其中，空間直角坐標(biāo)系的建立以及相關(guān)向量的計(jì)算不易直接實(shí)現(xiàn)，因此我們有必要探討在這種模型中如何避開利用空間向量的解析法而用純幾何的手段解決有關(guān)角的問題.1.“三節(jié)棍”模型的背景：①線面角背景：如圖1，是平面的垂ABBCD線，為垂足，是平面的斜線，是BACBCDC斜足，是平面內(nèi)另一異于的直線，CDBCDBC過作，垂足為，就是斜線BBDCD?DABC?與底面所成的

3、角，四面體即ACBCDABCD?為“三節(jié)棍”模型②長方體切割背景：如圖2，在長方體中兩個平面和切割所ABCDABCD?????AAC?ABC?得四面體即為“三節(jié)棍”模型.AABC??③球體切割背景：如圖3，球O的直徑為，AB過作球的兩個不同截面，再分別ABABDABC過AD和分別作共弦的截面和，四面BCCDACDBCD體即為“三節(jié)棍”模型.ABCD?2.“三節(jié)棍”模型的性質(zhì)：在圖1的“三節(jié)棍”模型中，我們可以得出下面的性質(zhì)，①最小角定理

4、：斜線與所成的角，是斜線與內(nèi)過斜足的所有直線所成角中最A(yù)CBDC?ACBDC?小的角.②三面角公式：———公式1coscoscos?????在圖1中，滿足.不僅如此，“三節(jié)棍”模型中各頂點(diǎn)的???coscoscos?????三個角中，對應(yīng)斜面上的角的余弦等于其它兩個互相垂直的面中對應(yīng)角余弦之積.如.coscosADCBDC????cosADB?由各面直角三角形銳角的互余關(guān)系，公式1還可化為：———公式sinsinsinCADCABCBD

5、?????1?③二面角公式：1)主、副垂面所成的二面角，它的平面角等于CABD??CBD?2???圖2DCBADCBA圖3OABDCBACD???圖13如圖，在三棱柱中，是邊長為4的正方形平面平面111ABCABC?11AACCABC?，11AACC35.ABBC??(I)求證：平面；1AA?ABC(II)求二面角的余弦值；111ABCB??(III)證明：在線段存在點(diǎn)，使得1BCD，并求的值.1ADAB?1BDBC分析：該題中的幾何關(guān)

6、系盡管適合建立空間直角坐標(biāo)系，但我們直接用公式3更快捷的解決問題.解：(I)略(II)由(I)知平面，，=51BB?111ABC11AC?11BBA1AB設(shè)二面角為，則111ABCB???11114tan165cos5tan254BCBBCA??????(III)證明(略)例2.如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓ABOC上異于的點(diǎn)，直線平面是圓O上異于AB分別是直線PC?ABCEF的中點(diǎn)PAPC(I)記平面與的交線為，判斷直線與BEFABCll平

7、面的位置關(guān)系，并加以證明；PAC(II)設(shè)(I)中的直線與圓的另一個交點(diǎn)為，且點(diǎn).記直線與平lODQDQ????12CP?????PQ面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小ABC?PQEF?ElC??為，?求證：sinsinsin????解析：本題直接用到了“三節(jié)棍”模型，除了建系用解析法外，我們用公式1可以更迅捷的解決問題.解(I)（略）(II)證明：由(I)知平面，連接，平行于，則DB?BCFDFDFPQ.在四面體中，F(xiàn)D