微積分初步

1、數(shù)學補充知識A微積分初步1函數(shù)及其圖形一、函數(shù)、自變量和因變量一、函數(shù)、自變量和因變量1函數(shù)：如果有兩個相互聯(lián)系的變量和，每當變量取定某個值以后，按照一定的規(guī)xyx律就可確定的對應(yīng)值，我們就稱是的函數(shù)，記為yyx)(xfy?)(:)(xyyxyf?或間的對應(yīng)關(guān)系和表示是函數(shù)記號（1）同一問題中遇見不同形式的函數(shù)時，可以用不同記號表示函數(shù)形式，例：)()(xx??（2）常見函數(shù)舉例：?axexxxcbxaxxxfyln2cos2123)(

2、2?????2自變量和因變量：：為自變量。的變化范圍：函數(shù)的定義域。xx：為因變量。所有取值范圍：函數(shù)的值域。yy物理學中函數(shù)與自變量視研究問題而定。例：中可以有兩個變量；但若VnRTPV?一定時，；或。)(TPP???PTT?3常數(shù)：上例中：均為常數(shù)ecba22123?a絕對常數(shù)：（確定不變的數(shù)）e22123?b任意常數(shù)：等。任意常數(shù)需要通過具體問題確定。常用確定方法：求斜率、cba截距的方法；非線性函數(shù)先進行變量變換，線性化后求斜率

3、、截距的方法等。知道了函數(shù)的形式以后，即可確定與自變量任一特定值對應(yīng)的函數(shù)值。例：)(0xf。一般：時，1)(223)(??????xfxxxfy時若0xx?0023)(xxf??4以上所介紹的為一元函數(shù)，還有二元函數(shù)，多元函數(shù)。5復合函數(shù)：若：，則稱是的復合函數(shù)，記為。Z稱為)()(xgzzfy??yx)]([)(xgfxy???中間變量。例：簡諧振動，為中間變量，的復合函數(shù)。tAAx??coscos???tx是二、函數(shù)的圖形二、函數(shù)

4、的圖形圖形優(yōu)點：直觀了解一個函數(shù)的特征；通過作圖可以擬合物理規(guī)律。1平面中的曲線可以表示幾何學或物理學中兩變量間的函數(shù)關(guān)系2作圖方法：⑴逐點描跡的方法。①給一個值，求對應(yīng)的值，確定（）②x)(xfyx2導數(shù)一、極限：一、極限：1概念：當變量無限趨近某一數(shù)值時，函數(shù)的數(shù)值無限趨近某x)(00xxx?)(xf一確定的數(shù)值，則叫做時函數(shù)的極限值，記為：aa0xx?)(xfaxfxx??)(lim0讀作：“當時，的極限等于”。0xx?)(xfa

5、2特例：此例的目的在于說明極限的意義：123)(2?????xxxxfy，根據(jù)中學知識知道，用0除以0，一般無意義。00)1(8)2(2)0(???fff而?232??xx1?x123)(2?????xxxxfy0.90.990.9990.99990.470.04970.049970.00499970.10.010.0010.00014.74.974.9974.99971.11.011.0011.00010.530.05030.0050

6、030.000500030.10.010.0010.00015.35.035.0035.0003由表可以看出時，。這一特例說明了極限的概念。當然，此題有更為1?x5)1(?f簡單的方法，即：23)1()1)(23()(???????xxxxxfy5)1(?f5123lim)(lim211???????xxxxfxx二、物理學中極限的例子：二、物理學中極限的例子：1瞬時速度（率）（以直線運動為例）（1）平均速率：a一般公式：)()()()