第-四-章-微分中值定理和導數的應用

1、第四章微分中值定理和導數的應用一、考核要求Ⅰ知道羅爾定理成立的條件和結論，知道拉格朗日中值定理成立的條件和結論。Ⅱ能識別各種類型的未定式，并會用洛必達法則求它們的極限。Ⅲ會判別函數的單調性，會用單調性求函數的單調區(qū)間，并會利用函數的單調性證明簡單的不等式。Ⅳ會求函數的極值。Ⅴ會求出數在閉區(qū)間上的最值，并會求簡單應用問題的最值。Ⅵ會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的凹凸區(qū)間和拐點。Ⅶ會求曲線的水平漸近線和垂直漸近線。二、基本概念、主要定理和公式

2、、典型例題Ⅰ微分中值定理今后，如果函數f(x)在某一點x0處的導數值=0，就說這一點是駐點，因此羅爾中值定理的結論也可以說f(x)在（a，b）內至少有一個駐點。從y=f(x)的幾何圖形（見下圖）可以看出，若y=f(x)滿足羅爾中值的條件，則它在（a，b）內至少有一點，其切線是水平的，根據導數的幾何意義知道，該點的斜率=k=0。從函數y=f(x)的圖形看（見下圖），連接y=f(x)在[a，b]上的圖形的端點A與B，則線段AB的斜率為：∴a

3、rctanb－arctana＜ba在第三章我們曾知常數的導數為零，即反過來會問：導數為零的函數是否一定是常數，下面我們證明證：在（a，b）任取兩數x1，x2，假定x2＞x1，證明這兩個函數值相等的。由于函數在a，b內處處可導，因此根據拉格朗中值定理知道在區(qū)間內部處處連續(xù)。因此函數在開區(qū)間x1，x2內部只少存在一點c使，使在端點的函數值f(x1)f(x2)=(x2x1)由于函數在區(qū)間內部的導數值永遠等于0，所以＝0∴f(x2)f(x1)=

4、0∴f(x2)＝f(x1)證畢。證：令Ｆ(x)=f(x)g(x)∴在（a，b）內==0∴在（a，b）內Ｆ(x)=c，即在（a，b）內f(x)g(x)=c∴在（a，b）內f(x)=g(x)cⅡ洛必達法則當limf(x)=0且limg(x)=0時，或limf(x)=∞且limg(x)=∞時，分式的極限不能用除法公式計算，上面的分式的極限可能存在，也可能是∞，還可能沒有極限，因此叫未定式，對于未定式的極限有下面的計算方法，叫洛必達法則，我們不