《直線與圓》常見考點(diǎn)及題型分析

1、《直線與圓》常見考點(diǎn)及題型分析 《直線與圓》常見考點(diǎn)及題型分析陜西省麟游縣中學(xué)（ 陜西省麟游縣中學(xué)（721599 721599） 韓紅軍 韓紅軍1. 1.熱點(diǎn)透析 熱點(diǎn)透析解析幾何涉及直線與圓和圓錐曲線兩部分內(nèi)容，是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶，是運(yùn)用“數(shù)”研究“形” 。 （1）近幾年高考的熱點(diǎn)：第一部分是直線的方程。需要掌握直線的傾斜角和斜率，直線方程的幾種形式（如點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式等），兩直線位置關(guān)系（平行、垂直）的判定和應(yīng)用

2、。第二部分是圓的方程。需要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、參數(shù)方程，與圓有關(guān)的最值問題、弦長(zhǎng)問題、軌跡問題等。第三部分是直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系。需要掌握直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系中基本量的計(jì)算。（2）近幾年?？嫉念}型：主要是一道選擇題或填空題，單獨(dú)出解答題的概率不大，然而有可能作為解答題的背景或滲透在解答題的第（1）問中。2. 2.熱點(diǎn)題型分類精講 熱點(diǎn)題型分類精講題型一：求直線的傾斜角或斜率例 1.（2014，安徽）過點(diǎn) P(－ ，－

3、1)的直線 l 與圓 x2＋y2＝1 有公共點(diǎn)，則直線 l 3的傾斜角的取值范圍是( )A.B.C.D. (0，π6 ] (0，π3 ] [0，π6 ] [0，π3 ]解析：易知直線 l 的斜率存在，所以可設(shè) l：y＋1＝k(x＋ )，即 kx－y＋ k－1＝0. 3 3因?yàn)橹本€ l 圓 x2＋y2＝1 有公共點(diǎn)，所以圓心(0，0)到直線 l 的距離 ≤1，即 k2－| 3k－1|1＋k2k≤0，解得 0≤k≤ ，故直線 l 的傾斜角

4、的取值范圍是 .故選 D． 3 3 [0，π3 ]評(píng)注：直線的傾斜角和斜率是最重要的兩個(gè)概念，應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)概念，扎實(shí)地 記住計(jì)算公式，傾斜角往往會(huì)和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)聯(lián)系在一起.題型二：求直線的方程例 2.（2014，福建）已知直線 l 過圓 x2＋(y－3)2＝4 的圓心，且與直線 x＋y＋1＝0垂直，則 l 的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0解析：由直線 l 與

5、直線 x＋y＋1＝0 垂直，可設(shè)直線 l 的方程為 x－y＋m＝0.又直線 l過圓 x2＋(y－3)2＝4 的圓心(0，3)，則 m＝3，所以直線 l 的方程為 x－y＋3＝0，故選 D.評(píng)注：若已知直線過定點(diǎn)，一般考慮點(diǎn)斜式；若已知直線過兩點(diǎn)，一般考慮兩點(diǎn)式；若已知直線與兩坐標(biāo)軸相交，一般考慮截距式；若已知一條非具體的直線，一般考慮一般式.題型三：求圓的方程例 3.（2014，陜西）若圓 C 的半徑為 1，其圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線

6、 y＝x 對(duì)稱，則圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．解析：由圓 C 的圓心與點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線 y＝x 對(duì)稱，得圓 C 的圓心為(0，1)．又因?yàn)閳A C 的半徑為 1，所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2＋(y－1)2＝1.例 4.（2014，山東）圓心在直線 x－2y＝0 上的圓 C 與 y 軸的正半軸相切，圓 C 截 x軸所得弦的長(zhǎng)為 2 ，則圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 3解析：因?yàn)閳A心在直線 x－2y＝0 上，所以可設(shè)圓

7、心坐標(biāo)為(2b，b)．又圓 C 與 y 軸的正半軸相切，所以 b>0，圓的半徑是 2b.由勾股定理可得 b2＋( )2＝4b2，解得 b＝±1.又 3因?yàn)?b>0，所以 b＝1，所以圓 C 的圓心坐標(biāo)為(2，1)，半徑是 2，所以圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－2)2＋(y－1)2＝4.(1)求 M 的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求 l 的方程及△POM 的面積．解：(1)圓 C 的方程可化為 x2＋(y－4

8、)2＝16，所以圓心為 C(0，4)，半徑為 4.設(shè)M(x，y)，則 CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．由題設(shè)知 CM·MP＝0，故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于點(diǎn) P 在圓 C 的內(nèi)部，所以 M 的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知 M 的軌跡是以點(diǎn) N(1，3)為圓心， 為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，故 2O 在線段 PM 的垂

9、直平分線上，又 P 在圓 N 上，從而 ON⊥PM.因?yàn)?ON 的斜率為 3，所以直線l 的斜率為－ ，故 l 的方程為 y＝－ x＋ .又|OM|＝|OP|＝2 ，O 到直線 l 的距離為131383 2 4 105，故|PM|＝ ，所以△POM 的面積為 .4 105165評(píng)注：解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，既要用平面幾何中有關(guān)圓的性質(zhì)，又要結(jié)合待定系數(shù)法運(yùn)用直線方程中的基本關(guān)系，養(yǎng)成勤畫圖的良好習(xí)慣.題型

10、七：最值問題例 11.（2014，北京）已知圓 C：(x－3)2＋(y－4)2＝1 和兩點(diǎn) A(－m，0)，B(m，0)(m＞0)．若圓 C 上存在點(diǎn) P，使得∠APB＝90°，則 m 的最大值為( )A．7 B．6 C．5 D．4解析：由圖可知，圓 C 上存在點(diǎn) P 使∠APB＝90°，即圓 C 與以 AB 為直徑的圓有公共點(diǎn)，所以 －1≤m≤ ＋1，即 4≤m≤6.故選 B． 32＋42 32

11、＋42例 12.（2014，四川）設(shè) m∈R，過定點(diǎn) A 的動(dòng)直線 x＋my＝0 和過定點(diǎn) B 的動(dòng)直線 mx －y－m＋3＝0 交于點(diǎn) P(x，y)，則|PA|＋|PB|的取值范圍是( )A．[ ，2 ] B．[ ，2 ] C．[ ，4 ] D．[2 ，4 ] 5 5 10 5 10 5 5 5解析：由題意可知，定點(diǎn) A(0，0)，B(1，3)，且兩條直線互相垂直，則其交點(diǎn) P(x， y)落在以 AB 為直徑的圓周上，所以|P

12、A|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，即|PA|＋|PB|≥|AB|＝ . 10又|PA|＋|PB|＝ ＝ ≤ ＝ （|PA|＋|PB|）2 |PA|2＋2|PA||PB|＋|PB|2 2（|PA|2＋|PB|2）2 ，所以|PA|＋|PB|∈[ ，2 ]，故選 B. 5 10 5例 13.（2013，江西師大附中）已知 P 是直線 0 8 4 3 ? ? ? y x 上的動(dòng)點(diǎn)， 是 PA PB 、圓 0 1 2 2 2 2 ? ?