初中數(shù)學(xué)專題：軌跡問題解題策略

1、1軌跡問題的解題策略對于初中數(shù)學(xué)中動點(diǎn)軌跡的問題，一般有兩種情況：線段或圓?。谘芯縿狱c(diǎn)問題時，可以在運(yùn)動中尋找不變的量，即不變的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系．如果動點(diǎn)的軌跡是一條線段，那么其中不變的量便是該動點(diǎn)到某條直線的距離始終保持不變；如果動點(diǎn)的軌跡是一段圓弧，那么其中不變的量便是該動點(diǎn)到某個定點(diǎn)的距離始終保持不變．因此，解決此類動點(diǎn)軌跡問題便可轉(zhuǎn)化為尋找定直線或定點(diǎn)，下面就以原文中兩個例題來闡明這類動點(diǎn)軌跡問題的解題策略．一、運(yùn)動路徑是線

2、段例 1（2012 年張家界中考題）如圖 1，已知線段 AB＝6，C、D 是 AB 上兩點(diǎn)，且AC＝DB＝1，P 是線段 CD 上一動點(diǎn)，在 AB 同側(cè)分別作等邊三角形 APE 和等邊三角形PBF，G 為線段 EF 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 由點(diǎn) C 移動到點(diǎn) D 時，G 點(diǎn)移動的路徑長度為_______．解析 此題中主動點(diǎn)是 P，動點(diǎn) G 是因點(diǎn) P 的變化而變化，動點(diǎn) P 在運(yùn)動過程中始終保持不變的量是 AP＋BP＝6．另外，題中還有不變

3、的量是△APE 和△PBF 始終為等邊三角形．解答此問題需牢牢把握住這兩個不變的量，而既然是求動點(diǎn) G 的運(yùn)動軌跡，則需考慮點(diǎn) G 是到某條直線的距離保持不變，還是到某個定點(diǎn)的距離保持不變，顯然此題首先考慮的是點(diǎn) G 是否到直線 AB 的距離保持不變，因此嘗試作 GQ⊥AB，垂足為 Q．又根據(jù)△APE 和△PBF 均是等邊三角形這一性質(zhì)，不難想到分別作 EM⊥AB 和 FN⊥AB，垂足分別為 M，N（如圖 2） ．此時容易得到EM＝ A

4、P，F(xiàn)N＝ BP， 3232所以 EM＋FN＝ （AP＋BP） 32＝3 ． 3再根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，可得到CQ＝ 12（EM＋FN）＝ ． 3 323(1)求點(diǎn) D 的坐標(biāo)（用含 m 的代數(shù)式表示） ；(2)當(dāng)△APD 是等腰三角形時，求 m 的值；(3)設(shè)過 P、M、B 三點(diǎn)的拋物線與 x 軸正半軸交予點(diǎn) E，過點(diǎn) O 作直線 ME 的垂線，垂足為 H(如圖 7)．當(dāng)點(diǎn) P 從點(diǎn) O 向點(diǎn) C 運(yùn)動時，點(diǎn) H 也隨之運(yùn)動，請直接寫

5、出點(diǎn) H 所經(jīng)過的路徑長． （不必寫解答過程）解析 (1)、(2)略．(3)此題中主動點(diǎn)是 P，動點(diǎn) H 是因點(diǎn) P 的變化而變化．動點(diǎn) P 在運(yùn)動過程中始終保持不變的量是 OH 始終垂直 ME，即日始終為垂足．而求動點(diǎn) H 的運(yùn)動軌跡，則需考慮點(diǎn)H 是到某條直線的距離始終不變，還是到某個定點(diǎn)的距離始終保持不變．由于 OH⊥ME，連結(jié) OM 后，△AMH 始終為直角三角形，而斜邊 OM 不變，因此根據(jù)直角三角形的性質(zhì)容易得到動點(diǎn)日到

6、DM 的中點(diǎn)的距離始終不變，從而可得到點(diǎn) H 的運(yùn)動軌跡是一段圓?。旅嬷恍璐_定圓弧的度數(shù)即可，即要找到動點(diǎn) H 的始點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)圖形的變化容易分析得動點(diǎn) H 無限接近點(diǎn) C，因此可將點(diǎn) C 定為動點(diǎn) H 的終點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn) P 在 O 點(diǎn)時，點(diǎn)H 在始點(diǎn)，記為 H1，由對稱性可知，此時點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(3，0)，作 MN⊥OE，垂足為N，取 DM 的中點(diǎn) F，再連結(jié) FC、F H1 （如圖 8） ．因?yàn)?M 點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，所以可得

7、 MN＝NE＝2，所以得到∠MEN＝45°，所以∠H1OE＝45°，所以∠H1OC＝45°．因?yàn)?C，D，H1，M 四點(diǎn)共圓，所以∠CFH1＝90°．又因?yàn)?FC＝OM＝ ，所以弧 CH1 的長為： ，所以點(diǎn) H 所經(jīng)過 525 90 5 2180 4??? ??的路徑長為 ． 54 ?以上兩個例題剛好反映了初中數(shù)學(xué)軌跡問題中的兩種典型情況．此類問題的解題策略便是確定動點(diǎn)到定直線的距離保持不變，還