D（kS-,3-）的不可約表示與Grothendieck群的環(huán)結(jié)構(gòu).pdf

1、Hopf代數(shù)起源于二十世紀(jì)四十年代，主要由Hopf對(duì)Lie群的拓?fù)湫再|(zhì)的公理性研究時(shí)而構(gòu)造的既有代數(shù)結(jié)構(gòu)又有余代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)概念。Hopf代數(shù)是可能使得兩個(gè)模的張量積仍然是模的那部分代數(shù)。同時(shí)，對(duì)任意的Hopf代數(shù)，討論它的兩個(gè)模的張量積分解和交換性是Hopf代數(shù)研究中的重要課題之一。當(dāng)H是幾乎余交換的Hopf代數(shù)時(shí)，它的任意兩個(gè)模的張量積是可交換的，而辯子Hopf代數(shù)(又稱擬三角Hopf代數(shù))是幾乎余交換的。擬三角Hopf代數(shù)是Dri

2、nfeld在研究量子Yang—Baxter方程時(shí)引進(jìn)的，通過這類Hopf代數(shù)的表示可為量子Yang—Baxter方程提供解。對(duì)于任一有限維Hopf代數(shù)H，Drinfeld給出了一種方法可以構(gòu)造一個(gè)擬三角Hopf代數(shù)D(H)，現(xiàn)在一般稱D(H)為Hopf代數(shù)H的Drinfeld double。 本文中設(shè)k是特征為2的代數(shù)閉域，S<,3>是3元對(duì)稱群。本文主要研究Hopf代數(shù)kS<,3>的Drinfeld double D(kS<,

3、3>)的不可約表示與Grothendieck群G<,0>(D(kS<,3>))的環(huán)結(jié)構(gòu)。 在第一章中，我們回顧了Hopf代數(shù)的一些背景知識(shí)，以及本文所需要的一些基本概念和基本結(jié)論。著重介紹了擬三角Hopf代數(shù)，有限維Hopf代數(shù)H的 Drinfeld double D(H)等概念及其結(jié)構(gòu)，D(H)的模范疇與Yetter—Drinfeld H-模范疇的關(guān)系等內(nèi)容。 在第二章中，我們首先介紹了Drinfeld double

4、D(kS<,3>)的具體結(jié)構(gòu)，由此研究了D(kS<,3>)的不可約表示。我們證明了在同構(gòu)意義下，D(kS<,3>)恰好有6個(gè)單模，并給出了這6個(gè)單模的具體結(jié)構(gòu)，記這6個(gè)單模為V<,1>,V<,2>,V<,3>,V<,4>,V<,5>,V<,6>。得到重要定理： 定理2．3．1．設(shè)V是D(kS<,3>)-單模，則V必同構(gòu)于V<,1>，V<,2>，V<,3>，V<,4>，V<,5>,V<,6>中之一。在第三章中，我們研究了Groth

5、endieck群G<,0>(D(kS<,3>))的環(huán)結(jié)構(gòu)。由于D(kS<,3>)是一個(gè)擬三角Hopf代數(shù)，G<,0>(D(kS<,3>))是一個(gè)交換環(huán)，作為加法群G<,0>(DCkS<,3>))是自由Abel群Z-基{[V<,1>]，[V<,2>]，[V<,3>]，[V<,4>]，[V<,5>]，[V<,6>])。這里主要給出了任意兩個(gè)單模張量積V<,i> V<,j>的結(jié)構(gòu)。當(dāng)V<,i> V<,j>半單時(shí)，給出了V<,i> V<,j>分