無界區(qū)域問題和外部問題的區(qū)域分解譜方法及其應(yīng)用.pdf

1、近三十年來，譜方法蓬勃地發(fā)展起來，為數(shù)值求解偏微分方程提供了又一個(gè)強(qiáng)有力的工具。譜方法的主要優(yōu)點(diǎn)是高精度，從而被廣泛應(yīng)用于計(jì)算流體力學(xué)、數(shù)值天氣預(yù)報(bào)、海洋工程、化學(xué)反應(yīng)數(shù)值模擬和量子力學(xué)計(jì)算等。已有的譜方法一般適用于周期問題和有界區(qū)域問題，然而，科學(xué)和工程中的許多問題可歸結(jié)為無界區(qū)域問題或外部問題。求解這類問題的方法之一是設(shè)定一個(gè)人工邊界，加上人工邊界條件，然后在有限子區(qū)域中用通常的方法計(jì)算，例如差分法、有限元方法或者有界區(qū)域上的譜方法

2、等。但是，這種截?cái)鄥^(qū)域的辦法會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)的誤差。因此需要研究直接計(jì)算無界區(qū)域和外部區(qū)域問題的高精度算法。 本文研究無界區(qū)域和外部區(qū)域問題的區(qū)域分解譜方法，其理論基礎(chǔ)是以無界區(qū)域中的正交多項(xiàng)式或正交函數(shù)系為基底的正交和插值逼近理論，并伴隨區(qū)域分解法。 本文由以下四部分組成: 第一章簡(jiǎn)單回顧已有的無界區(qū)域問題的數(shù)值方法，特別是無界區(qū)域和外部問題譜方法研究的進(jìn)展情況。概述了本文研究工作的動(dòng)機(jī)、困難和所得到的主要結(jié)果，以及

3、本文的結(jié)構(gòu)。 在第二章中介紹一些一維Laguerre正交逼近和一維Legendre正交逼近的基本結(jié)果。將以帶參數(shù)β的Laguerre正交函數(shù)和Legendre正交多項(xiàng)式為基函數(shù)，來逼近無界區(qū)域和外部區(qū)域問題的解，并通過參數(shù)β的適當(dāng)選擇，使得數(shù)值解更好地吻合精確解的漸近行為。 在第三章中，我們研究無窮帶狀區(qū)域上Fokker-Planck方程的高精度數(shù)值方法，它是非標(biāo)準(zhǔn)類型的偏微分方程。在已有的文獻(xiàn)中，對(duì)一維問題采用Herm

4、ite譜方法，對(duì)二維問題采用Hermite譜-差分混合方法，但限制了解的精度，見[12，60]。一個(gè)賦有挑戰(zhàn)性的問題是如何應(yīng)用譜方法計(jì)算Fokker-Planck方程，從而得到高精度數(shù)值解。這個(gè)問題主要有以下幾方面的困難：第一，它在一個(gè)自變量方向類似拋物型方程，而在另一個(gè)自變量方向類似雙曲型方程。因此，我們不能用通常的方法構(gòu)造合理的譜格式和分析數(shù)值誤差;第二，其解在不同的子區(qū)域上滿足不同類型的邊界條件，因此不能應(yīng)用統(tǒng)一的基函數(shù)；第三，方

5、程中的某些系數(shù)在原點(diǎn)退化，而在無窮遠(yuǎn)處趨向無窮大，這給實(shí)際計(jì)算和數(shù)值分析帶來許多困難。為克服上述這些困難，我們首先建立一維區(qū)域上以Laguerre函數(shù)為基底的擬正交逼近和Legendre擬正交逼近理論，然后在各個(gè)子區(qū)域上建立一些特殊的Laguerre-Legendre混合譜逼近理論。它們結(jié)合區(qū)域分解方法有機(jī)地組成了無窮帶狀區(qū)域上Laguerre-Legendre混合的譜逼近理論。在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上，我們構(gòu)造了Fokker-Planck方

6、程的Laguerre-Legendre混合譜格式，證明了它的收斂性，并在空間方向上有譜精度。數(shù)值例子顯示了該算法的優(yōu)越性，并和理論分析相吻合。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，我們還考慮相應(yīng)的擬譜方法。我們發(fā)展了一維區(qū)域上的以Laguerre函數(shù)為基底的Laguerre-Gauss-Radau插值逼近和Legendre-Gauss-Radau插值逼近理論，并在此基礎(chǔ)上建立各個(gè)子區(qū)域及整個(gè)無窮帶狀區(qū)域上Laguerre-Legendre混合插值逼近理論。應(yīng)用

7、這些結(jié)果，我們構(gòu)造了Fokker-Planck方程的Laguerre-Legendre混合擬譜格式，證明了它的收斂性及其在空間方向上的譜精度。數(shù)值例子同樣表明了該算法的有效性和高精度。與相應(yīng)的譜方法相比較，擬譜方法在實(shí)際計(jì)算中更簡(jiǎn)單、更節(jié)省計(jì)算時(shí)間。 在第四章中，我們研究二維外部區(qū)域問題的區(qū)域分解譜和擬譜方法。文獻(xiàn)[25，56，57]給出了有關(guān)一維問題區(qū)域分解譜方法的一些結(jié)果。在文獻(xiàn)[27，29，36]中，研究了圓外或球外問題譜

8、方法，然而更困難也更有實(shí)際意義的問題是帶有多角形障礙物的外部問題，至今尚未見到任何結(jié)果。計(jì)算這個(gè)問題的困難之處在于：如何在各子區(qū)域上合理逼近所討論的問題?如何在兩個(gè)相鄰子區(qū)域的公共邊界上匹配數(shù)值解?如何在空間方向上保持解的整體譜精度?如何估計(jì)整體數(shù)值誤差?為解決這些困難，我們先研究一維區(qū)域上的有關(guān)Laguerre擬正交逼近和Legendre擬正交逼近，然后在不同的子區(qū)域上分別建立一些特殊的Laguerre-Legendre混合逼近和二維

9、Laguerre逼近方法，并在此基礎(chǔ)上，建立整個(gè)外部區(qū)域上的Laguerre-Legendre混合逼近理論。應(yīng)用這些結(jié)果，我們構(gòu)造兩個(gè)模型問題的區(qū)域分解Laguerre-Legendre混合譜格式，證明了該方法的收斂性及其在空間方向上的譜精度。在實(shí)際計(jì)算中，我們構(gòu)造了兩類特殊的基函數(shù)，簡(jiǎn)化了計(jì)算。數(shù)值例子顯示了該算法的有效性并與理論分析相一致。我們還發(fā)展了一維區(qū)域上以Laguerre函數(shù)為基底的Laguerre-Gauss-Radau插

10、值逼近和Legendre-Gauss-Lobatto插值逼近理論，并給出各個(gè)不同子區(qū)域及整個(gè)外部區(qū)域上的混合插值逼近方法。在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上，我們構(gòu)造了兩個(gè)模型問題的Laguerre-Legendre混合擬譜格式，證明了它的收斂性及其在空間方向上的譜精度。數(shù)值例子同樣表明了該算法的有效性和高精度，并比譜方法更簡(jiǎn)單、更節(jié)省計(jì)算時(shí)間。 本文有關(guān)逼近結(jié)果豐富與發(fā)展了有關(guān)譜方法的理論及其應(yīng)用，特別是區(qū)域分解譜方法。文中采用的技巧同樣適用