多角形區(qū)域上偏微分方程混合非齊次邊值問題的譜元方法和區(qū)域分解擬譜方法.pdf

1、近三十年來,譜方法和擬譜方法作為數(shù)值求解微分方程的重要方法得到了蓬勃發(fā)展,它們的主要優(yōu)點是高精度,即真解越光滑,數(shù)值解的誤差就越小.譜方法的發(fā)展經(jīng)歷了三個階段.第一個階段研究工作是根據(jù)Fourier正交逼近、Legendre正交逼近和Chebyshev正交逼近的快速收斂性,構(gòu)造相應(yīng)的高精度數(shù)值方法.第二階段研究工作是充分發(fā)揮Jacobi正交逼近、Laguerre正交逼近和Hermite正交逼近的特點,構(gòu)造各種計算退化型微分方程、奇異型微

2、分方程和無界區(qū)域上的微分方程,以及有關(guān)問題的譜與擬譜方法.然而,通常的Jacobi,Laguerre和Hermite譜和擬譜方法僅適用于直角區(qū)域上的內(nèi)部或外部問題,這是譜方法的主要弱點,因此,近年來開始的第三階段研究工作則著重于試圖克服這個障礙,從而從本質(zhì)上拓廣譜和擬譜方法的理論及其應(yīng)用.
　　 本文研究凸四邊形區(qū)域上偏微分方程的譜和擬譜方法,以及多角形區(qū)域上的譜元方法和區(qū)域分解擬譜方法.
　　 首先,我們通過坐標(biāo)變換引

3、入一類由Legendre多項式誘導(dǎo)出來的函數(shù)系,它們構(gòu)成凸四邊形Ω上的一個完備正交系.然后建立了以它們?yōu)榛瘮?shù)的L2(Ω)-正交逼近和H10(Ω)-正交逼近理論.我們設(shè)計了一個Poission方程Dirichlet邊值問題和一個拋物型方程初邊值問題的譜格式,數(shù)值結(jié)果證實了這些格式的高效性.
　　 其次,我們引入另一類函數(shù)系,建立了以此類函數(shù)為基底的不同類型的正交投影和擬正交投影理論,由此組合成多角形區(qū)域上的擬正交逼近,它在相鄰子

4、區(qū)域的公共邊界上保持連續(xù)性,并具有整個多角形區(qū)域上的譜精度.我們構(gòu)造了凸四邊形區(qū)域上橢圓型方程混合非齊次邊值問題的Petrov-Galerkin譜方法和多角形區(qū)域上的Petrov—Galerkin譜元方法,并證明了它們在整個區(qū)域上的高精度.
　　 第三,我們引入另一類由Legendre多項式誘導(dǎo)的一個函數(shù)系,建立了凸四邊形區(qū)域上以它們?yōu)榛瘮?shù)的Legendre-Gauss型插值理論,設(shè)計了相應(yīng)的數(shù)值積分公式,它對所采用的基函數(shù)及

5、其導(dǎo)數(shù)都準(zhǔn)確成立.我們建立了兩個模型問題的擬譜格式,證明了它們的高精度.數(shù)值結(jié)果顯示了這些方法的高效性.
　　 最后,我們建立了幾類凸四邊形區(qū)域和多角形區(qū)域上的擬正交逼近,及Legendre-Gauss型插值理論,設(shè)計了相應(yīng)的數(shù)值積分公式,它對所采用的基函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都準(zhǔn)確成立.我們構(gòu)造了多角形區(qū)域上橢圓型微分方程混合非齊次邊值問題的區(qū)域分解擬譜方法,并證明它在整個區(qū)域上的譜精度.
　　 本文的結(jié)果克服了通常譜和擬譜方法的