Zm上的差基與雙基.pdf

1、用N表示所有非負(fù)整數(shù)所成的集合.對(duì)于A()N,定義
　　 σA(n)=＃{(a,b):a,b∈A,a+b=n}.若對(duì)任意非負(fù)整數(shù)n,均有σA(n)≥1,則稱A為N的二階加法基.
　　 P.Erd(o)s和P.Turán于1941年提出如下著名猜想:對(duì)于N的任何二階加法基A,總有σA(n)無界.
　　 1990年Imre Z.Ruzsa構(gòu)造了N的一個(gè)二階加法基A,使得,在二次平均的意義上,σA(n)是有界的.

2、>　　 2006年陳永高教授和湯敏將P.Erd(o)s猜想中的N換成Zm(其中m為正整數(shù)),他們證明了:對(duì)充分大的正整數(shù)m,總存在Zm的加法基A,使得σA(n)≤768.20079F,他們又證明了:對(duì)任意的正整數(shù)m,總存在Zm的加法基A,使得σA(n)≤5120.2008年,陳永高教授將5120改進(jìn)為288.
　　 如果Zm中的任一剩余類均可表示成A中兩個(gè)元素之差,則稱A為Zm的一個(gè)差基；如果Zm中的任一剩余類既可表示成A中兩

3、個(gè)元素之差,又可表示成A中兩個(gè)元素之和,則稱A為Zm的一個(gè)雙基.對(duì)于A()Zm,n∈Zm,定義
　　 σA(n)=＃{(a,b):a,b∈A,b+b=n},
　　 δA(n)=＃{(a,b):a,b∈A,a-b=n}.
　　 本文的主要結(jié)果如下(已發(fā)表于Journal of Number Theory130,3(2010),716-726):
　　 1.對(duì)任意的正整數(shù)m,總存在Zm的一個(gè)差基A,使得Zm的