常微分方程理論在數(shù)學(xué)建模中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.pdf

1、眾所周知，自然界中一切物質(zhì)都按照自身的規(guī)律在運(yùn)動(dòng)和演變，不同物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律總是在時(shí)間和空間中運(yùn)動(dòng)著的，雖然物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形式千差萬(wàn)別，但我們總可以找到它們共性的一面，即具有共同的量的變化規(guī)律。為了能夠定性和定量的研究一些特定的運(yùn)動(dòng)和演變過(guò)程，就必須將物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和演變過(guò)程中相關(guān)的因素進(jìn)行數(shù)學(xué)化。這種數(shù)學(xué)化的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，即根據(jù)運(yùn)動(dòng)和演變規(guī)律找出不同變量之間互相制約、互相影響的關(guān)系式。由于大量的實(shí)際問(wèn)題中，稍微復(fù)雜一些的運(yùn)動(dòng)過(guò)程往往不能

2、直接寫(xiě)出他們的函數(shù)，卻容易建立變量及其導(dǎo)數(shù)(或微分)間的關(guān)系式，即微分方程。微分方程描述的是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)規(guī)律。將常微分方程應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模是因?yàn)槌Ｎ⒎址匠汤碚撌怯脭?shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具，是一門(mén)有著重要背景應(yīng)用的學(xué)科，具有悠久的歷史，系統(tǒng)理論日臻完善，而且繼續(xù)保持著進(jìn)一步發(fā)展的活力，其主要原因是它的根源深扎在各種實(shí)際問(wèn)題中。
　　 作者通過(guò)查閱近幾十年來(lái)的參考文獻(xiàn)或書(shū)籍資料，對(duì)常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用進(jìn)行了詳盡的綜

3、述。主要內(nèi)容包括以下幾個(gè)方面：
　　 1.數(shù)學(xué)模型和常微分方程的發(fā)展情況。介紹了數(shù)學(xué)模型在不同學(xué)科與針對(duì)不同實(shí)際問(wèn)題而產(chǎn)生的不同的定義，以及根據(jù)不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的詳細(xì)分類(lèi)；簡(jiǎn)要給出了數(shù)學(xué)建模的具體步驟以及每個(gè)步驟中需要解決的關(guān)鍵問(wèn)題，其中采用的方法中最主要的就是使用常微分方程理論；最后通過(guò)討論如何在雨中行走才能減少淋雨的程度這一實(shí)例給出了如何使用數(shù)學(xué)模型結(jié)合常微分方程理論解決實(shí)際問(wèn)題的示范。
　　 2.詳細(xì)介紹了常微分方程建

4、模的原理、主要方法和步驟。介紹了常微分方程建模的具體步驟，幾種主要方法和注意事項(xiàng)；給出了一階常微分方程建模的兩個(gè)典型實(shí)例，打假問(wèn)題模型和商業(yè)廣告模型，通過(guò)這些實(shí)例詳細(xì)演示了常微分方程建模的步驟與方法在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；第二，介紹了一階非線性常微分方程模型，研究了最速降線和單種群密度制約兩個(gè)經(jīng)典問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的建立。將數(shù)學(xué)建模的幾個(gè)主要步驟具體應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中得到了基于常微分方程的數(shù)學(xué)模型。第三介紹了二階常微分方程模型，包括追擊問(wèn)題和振動(dòng)