代數(shù)與余代數(shù)理論若干問題研究.pdf

1、代數(shù)和余代數(shù)的許多問題，吸引了許許多多數(shù)學(xué)工作者不斷的研究和探索.在這些問題中，用代數(shù)表示論的方法來研究代數(shù)和余代數(shù)，是近幾年來熱點問題.代數(shù)表示論是二十世紀(jì)七十年代初興起的代數(shù)學(xué)的一個新的分支.它的基本內(nèi)容是研究一個Artin代數(shù)上的模范疇.在近二十多年的時間里，這一理論有了很大的發(fā)展并逐步趨于完善.主要內(nèi)容包括Hall代數(shù)的基本理論及其方法，并且著重指出了利用這一理論和方法通過代數(shù)表示論去實現(xiàn)Kac-Moody李代數(shù)及相應(yīng)的量子包絡(luò)

2、代數(shù)；另一主要內(nèi)容是擬遺傳代數(shù)及其表示理論，以及這一理論與復(fù)半單李代數(shù)及代數(shù)群的表示理論等的聯(lián)系.同時，許多學(xué)者不但用代數(shù)表示論方法研究了代數(shù)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)問題，還研究了不同類型的代數(shù)和余代數(shù)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).這些余代數(shù)包括半完備余代數(shù)、擬余Frobenius余代數(shù)，遺傳余代數(shù)、純半單余代數(shù)和序列余代數(shù)等等；這些代數(shù)包括遺傳代數(shù)、Frobenius代數(shù)，序列代數(shù)、關(guān)聯(lián)代數(shù)等等.
　　 本文主要研究了三個方面的問題.首先，我們引進（*）

3、-序列余代數(shù)和（*）-序列代數(shù)，并對它們進行了研究.我們知道，序列余代數(shù)考慮的是，它的任意不可分解內(nèi)射余模的子余模格是一個鏈的情形，但對于雙鏈的這種情形，即一個余代數(shù)的任意不可分解內(nèi)射余模的子余模格是兩個鏈的情形，余代數(shù)結(jié)構(gòu)怎樣?與序列余代數(shù)相比，又有什么不同的性質(zhì)?同樣的問題對于結(jié)合代數(shù)如何?本文首先就該問題展開討論.其次，我們引進了準(zhǔn)素余代數(shù)概念，并用此對余代數(shù)的性質(zhì)進行了研究.我們知道，單余代數(shù)只控制一個quiver中的頂點，但不

4、能控制箭向.因此，我們的興趣在于研究單余代數(shù)的推廣：素余代數(shù)和準(zhǔn)素余代數(shù).同時，我們利用素余代數(shù)引進余代數(shù)的Krull維數(shù)概念并對其進行了研究；第三，對于形式三角矩陣代數(shù)（或形式三角矩陣環(huán)）及其模上的性質(zhì)，一直以來為許多學(xué)者所關(guān)注.本文在一些學(xué)者的研究基礎(chǔ)上對形式三角矩陣代數(shù)做了進一步的討論和刻畫.
　　 本文的主要結(jié)果如下.
　　 第二章，我們給出了（*）-序列余代數(shù)的概念，它是對序列余代數(shù)的一個推廣.在此基礎(chǔ)上，進一

5、步對（木)-序列余代數(shù)及其余模上的性質(zhì)進行了研究討論和刻畫，并通過一些特殊例子說明了這樣的余代數(shù)是存在的.同時，我們知道，局部化的理論在代數(shù)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)中，都占有極其重要的地位，許多學(xué)者用不同的方法研究發(fā)展了局部化理論，例如，一個大家都熟知的方法是，在交換環(huán)中利用乘法系將環(huán)局部化.在非交換情況下，由Goodearl, Warfied等已經(jīng)獲得了一些令人滿意的結(jié)果.用較為抽象的方法，P. Gabriel在阿貝爾和Grothendieck范

6、疇中刻畫了局部化，這種方法是用一個函子（這個函子有一個右伴隨函子，即截面函子)作用得到一個新的范疇，即商范疇.G. Navarro發(fā)展了Gabriel的思想，把它用在余模范疇（即有限型的Grothendieck范疇）中，這個理論的關(guān)鍵在于商范疇變成了余模范疇，這相比于代數(shù)上的模的情形更易于理解.因此，用這種方法，我們刻畫研究了右（*）-序列余代數(shù)的局部化問題.在這一章，有下面主要結(jié)果：
　　 定理2.2.1下面對余代數(shù)C的陳述是

7、等價的：
　　 (1)C是（*）-序列的.
　　 (2)每一個有限維右C-余模是單列余模或者雙列余模的直和.
　　 (3)每一個有限維左C-余模是單列余?；蛘唠p列余模的直和.
　　 (4)每一個有限維不可分解右C-余模是單列的或者是雙列的.
　　 (5)每一個有限維不可分解左C-余模是單列的或者是雙列的.
　　 (6)C的每一個有限維的子余代數(shù)是（*）-序列的.
　　 定理2.2.

8、2基本余代數(shù)C是右（*）-序列的當(dāng)且僅當(dāng)對每個不可分解內(nèi)射C-余模E，最多存在一個正整數(shù)m使得socmE/socm-1E是兩個單C-余模的和，且socm+lE/socmE是單的；同時，對任意正整數(shù)i≠m,sociE/soci-1E或是零或是單的.
　　 定理2.2.3如果基本余代數(shù)C是右（木）-序列的，則右賦值Gabriel quiver(QC，dC)中的每個頂點Si至多是兩個箭向的匯點(sink).如果這種箭向存在，則對某頂點

9、Sj和Sj′及正整數(shù)d和d′，使其有如下形式
　　 (?)
　　 特別地，如果C是點余代數(shù)且C是右（*）-序列的，則在C的（非賦值）Gabriel quiver中，每個頂點至多是兩個箭向的匯點.
　　 第三章，我們對單余代數(shù)的推廣，即素余代數(shù)進行了進一步的推廣，引進了準(zhǔn)素余代數(shù)的概念，并對準(zhǔn)素余代數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)進行了初步的探討.對準(zhǔn)素余代數(shù)和素余代數(shù)的研究，意義是很重大的，它能夠幫助我們進一步研究路余代數(shù)的quiv

10、er中箭向的控制問題，能夠有助于我們了解余代數(shù)的結(jié)構(gòu).同時，根據(jù)素余代數(shù)，用局部化方法，我們研究了余代數(shù)的Krull維數(shù)的問題，并用Krull維數(shù)研究了余代數(shù)的一些性質(zhì).得到下列主要結(jié)果.
　　 定理3.2.1令Q是quiver，設(shè)D是余代數(shù)kQ的有限維子余代數(shù)，下面的陳述是等價的：
　　 (a)D是準(zhǔn)素余代數(shù).
　　 (b)對兩個點集的特征函數(shù)的任意非零冪等元e∈（kQ）*，余代數(shù)eDe(?)eCe是準(zhǔn)素余代數(shù)

11、.
　　 定理3.3.1設(shè)D是余代數(shù)C中的任意素子余代數(shù)，且e∈C*是一個相伴于soc D的半中心冪等元.則我們有
　　 ht(D)≤K dim Te(C)=K dim(eCe).
　　 定理3.3.3設(shè)C是余代數(shù)，M是C-余模.如果C的系數(shù)子余代數(shù)cf(M)是諾特的，則K dim(M)=0.
　　 第四章，我們給出了（*）-序列代數(shù)的概念，它是對序列代數(shù)的一個推廣.在此基礎(chǔ)上，進一步對（*）-序列代數(shù)及

12、其模上的性質(zhì)進行了研究討論和刻畫，并通過一些例子說明這種代數(shù)是存在的，其主要結(jié)果如下：
　　 定理4.2.2有限維結(jié)合代數(shù)A是右（*）-序列的當(dāng)且僅當(dāng)對任意在mod-A中的不可分解投射右A-模P，最多存在一個正整數(shù)n使得radlP只包含兩個極大子模（即radn+lP是radnP中兩個極大子模的交），并且對任意i≠n, radiP包含唯一一個極大子模.
　　 第五章，對一類特殊代數(shù)，形式三角矩陣代數(shù)是PP-代數(shù)、廣義PP-

13、代數(shù)、遺傳代數(shù)和半遺傳代數(shù)的充分必要條件進行了研究.同時，對形式三角矩陣代數(shù)是序列代數(shù)和（*）-序列代數(shù)的充分必要條件也進行了討論，得到下面主要結(jié)果.
　　 定理5.4.1設(shè)形式三角矩陣代數(shù)T=(?)）.如果T是右序列代數(shù)，則我們有
　　 (a)A和B均是右序列代數(shù).
　　 (b)MA是單列模的直和.
　　 定理5.4.2設(shè)形式三角矩陣代數(shù)T=（(?)）且BM是不可分解模.如果T是右（*）-序列代數(shù)，則A