量子群U-,q-(f(K，H))的中心及其表示.pdf

1、量子群理論是代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中重要的研究內(nèi)容，它是上世紀(jì)八十年代中期發(fā)展起來的代數(shù)分支。近二十年來，其理論被人們廣泛的討論。本碩士論文主要研究當(dāng)q是單位根時，對量子群U=Uq(f(K，H))的中心及其單表示進(jìn)行明確刻畫。 第一部分，介紹了量子群Uq(g)的研究背景，重點闡述了當(dāng)q是單位根時，量子群Uq(sl(2))的中心及其表示理論，并進(jìn)一步引出了本論文的研究對象：量子群U=Uq(f(K，H))。 第二部分，羅列了量子群Uq(

2、f(K，H))的一些已有的主要結(jié)果：Uq(f(K，H))是由生成子K，H，K-1，H-1，E，F(xiàn)及關(guān)系式KH=HK，KK1-=K-1K=1，HH-1=H-1H=1，KEK-1：q2E，KFK-1=q-2F，HEH-1=g-2E，HFH-1=q2F，[E，F(xiàn)]=f(K，H)確定的k-代數(shù)它具有唯一的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)(命題2.2.)；利用數(shù)學(xué)歸納法可得到Uq(S(K，H))的生成子所滿足的一般關(guān)系式(引理2.3.，引理2.4.)；以及Uq(

3、S(K，H))是Noetherian整環(huán)且具有基{E1F1K1H1}i，j∈N，r∈Z。 第三部分，主要討論了量子群U=Uq(f(K，H))的中心，主要結(jié)論有： 引理3.1.Ee，F(xiàn)e，Ke，K-e，He，H-e，Cq屬于量子群Uq(S(K，H))的中心，其中Cq=Cq(f(K，H))是Uq(f(K，H))的量子Casimir元素。 設(shè)Ukp是Uq(F(K，h))中所有與K可交換元素的集合.則有下面幾個引理：引理

4、3.4.Z(u)是由E'，F(xiàn)e及Z(U)∩Uop生成的的子代數(shù)。 最后得出第一個主要的結(jié)論：定理3.5.Z(U)是由Ee，F(xiàn)e，Ke，K-e，He，H-e，Ks，Hs、Cq生成的子代數(shù)，其中s∈N。 第四部分，引入U上模的權(quán)向量的概念，并根據(jù)維數(shù)對單U-模進(jìn)行了分類。首先討論維數(shù)小于e的Uq(f(K，H))-模并證明了以下幾個結(jié)論： 命題4.2.設(shè)V是Uq(f(K，H))模，dim V=d+1

5、定存在最高權(quán)向量。(2)E，F(xiàn)作用在V上是冪零的。 定理4.4.設(shè)V是有限維Uq(f(K，H))模，dim V=d+1

6、與Vα，b，d，其中Vα，b，d，是已構(gòu)造的維數(shù)為d+1的單模?？紤]單模的維數(shù)大于e時，利用反證法可證得這樣的單模不存在，即：定理4.6.維數(shù)>e的單模不存在。最后得出維數(shù)等于e的單U-模的結(jié)構(gòu)：定理4.7.設(shè)V是維數(shù)等于e的向量空間，基為{vo，v1，…，ve-1}.則V具有以下三種類型的單U-模結(jié)構(gòu)：(I)取定αb≠0，λ∈k，定理4.8.設(shè)V是維數(shù)e等于的單模，則V同構(gòu)與上述單模之一。由此定理，我們就能清楚的刻畫出維數(shù)等于e的單U