22282.某類秩約束矩陣變量二次函數(shù)極小化問題的序列凸近似方法

1、博士學位論文某類秩約束矩陣變量二次函數(shù)極小化問題的序列凸近似方法SequentialConvexADDroximationADproachForAClassOfSeqUentlaIC0nVeXADDr0XlmatlonADproaCn■。OrAUlaSSUtMatrixVariableQuadraticFunctionMinim娩ationProblemsWithRankConstraint作者姓名：學號：指導教師：學科、專業(yè)：答辯日期

2、：王博10901052張立衛(wèi)教授JaneJYe教授運籌學與控制論2015年12月1日大連理工大學DaliaIlUmvers毋ofTecllIIology大連理工大學博士學位論文摘要矩陣變jI=二次函數(shù)極小化問題，特別是其中一類困難的秩約束非凸問題，近年來受到了越來越廣泛的關注。其在計量經(jīng)濟、統(tǒng)計、機器學習、圖像處理等領域有著廣泛的應用。本文主要對矩陣變量是對稱半正定矩陣和非對稱矩陣的秩約束二次函數(shù)極小化問題的數(shù)值算法進行研究。主要內(nèi)容可

3、以歸納如下：1論文的第3和第4章主要討論變量是對稱半正定矩陣的秩約束二次極小化問題。首先利用秩約束等價于兩個矩陣范數(shù)之差，轉(zhuǎn)化原二次極小化問題為一個DC約束問題。該問題的約束規(guī)范的不成立導致理論上的障礙——經(jīng)典序列凸近似(SCA)方法的收斂性無法保證。為克服轉(zhuǎn)化問題的困難，在第3章引入松弛變量E，構造了∈松弛方法，并在理論上證明了該方法收斂，數(shù)值實驗則驗證了該方法是一個有效的數(shù)值方法。第4章中提出了另一種基于序列凸近似的非光滑方程的方法

4、。該方法直接考慮與DC約束問題的最優(yōu)性條件等價的三個非光滑方程。算法的基本思想是：首先固定一個變量，用兩個方程迭代剩余的變量，然后在適當?shù)臈l件下利用第三個方程更新原來固定的變量，并如此交替進行。該算法在論文中被證明是收斂的。需要指出，該算法可以推廣到更復雜的帶有日權重的問題。大f||=的數(shù)值實驗證明該方法非常高效。2論文的第5章從秩函數(shù)替換的角度考慮問題。本章給出了矩陣秩函數(shù)的一種非光滑近似，并探討了其微分性質(zhì)。注意該函數(shù)可以從最初定義

5、的對稱矩陣利用對稱化方法推廣到非對稱矩陣上。為了驗證其有效性，將其分別應用到相關系數(shù)矩陣校正問題和矩陣補全問題中。數(shù)值實驗驗證了其可行性。3論文的第6章通過對其La目a119e對偶理論的討論來研究非對稱低秩二次極小化問題。對該非凸問題，本章給出了其凸的Lagrallge對偶問題的具體簡潔的形式，并證明了其弱對偶性成立。進一步，還證明了在略強的條件下，強對偶性也成立。即在適當假設下，通過求解凸對偶問題，可以求解非凸的秩約束二次極小化問題。