淺談二次函數(shù)在高一教材中的應用

1、<p>　　淺談二次函數(shù)在高一教材中的應用</p><p>　　二次函數(shù)在初中教材中應用廣泛，曾經(jīng)是初中階段學生的重點，由于初中的教學要求僅限于作圖，確定函數(shù)解析式，隨著函數(shù)概念和性質(zhì)學習的不斷深入，對其考查更為深遠，在高一教材中許多知識點都和二次函數(shù)聯(lián)系起來，因此如何處理這些內(nèi)容是教者值得重視和研究的。 </p><p><b>　　一．二次函數(shù)的定義</b&

2、gt;</p><p>　　初中教材已經(jīng)學習了函數(shù)的定義，進入高一后重新從集合與對應的觀點出發(fā)學習函數(shù)概念，主要是用映射觀點來闡明函數(shù)，這時就可以用學生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來加以更深認識函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射?:A→B，使得集合B中的元素 (≠0)與集合A的元素X一一對應，記為 (≠0)這里表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學

3、生對函數(shù)的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數(shù)值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題：</p><p>　　類型I：已知=，求.</p><p>　　這里不能把理解為時的函數(shù)值，只能理解為自變量為的函數(shù)值。</p><p>　　類型Ⅱ：已知是二次函數(shù)，且，，求。</p><p>　　方法引導：由已知是二次函數(shù)，所以可設(shè)設(shè)法求出各個系數(shù)即可

4、。</p><p>　　二．二次函數(shù)的單調(diào)性，最值與圖象</p><p>　　在高一教材中學習單調(diào)性時，首先從學生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手，讓學生從特殊到一般來認識函數(shù)單調(diào)性的概念，然后讓學生對二次函數(shù)在區(qū)間（－∞，－]及[－，+∞） 上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進行嚴格的論證，使它建立在嚴密理論的基礎(chǔ)上，與此同時，進一步充分利用函數(shù)圖象的直觀性，給學生配以適當?shù)木毩?，使學生逐步自覺地利用圖象學

5、習二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性和最值問題。</p><p>　　類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖象，并通過圖象研究其單調(diào)性。</p><p><b>　?。?） （2）</b></p><p>　　這里要使學生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對值記號的函數(shù)用分段函數(shù)去表示，然后畫出其圖象。</p><p>　　

6、類型Ⅳ：某汽車租憑公司的月收益元與每輛車的月租金元間的關(guān)系為，那么，每輛車的月租金多少元時，租憑公司的月收益最大？最大月收益是多少？</p><p>　　求最值問題時，首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數(shù)在實數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。</p><p>　　如：（-

7、3≤≤－1），求該函數(shù)的值域。</p><p>　　三．方程的根與函數(shù)的零點</p><p>　　零點的概念是利用一元二次方程=0(≠0)的根和二次函數(shù) (≠0)與軸交點的情況分析后推廣得到的：</p><p>　　（1）當時，一元二次方程有兩個不等的實數(shù)根，相應的二次函數(shù)有兩個零點，即這兩個實數(shù)根就是對應的兩個零點；（2）當時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，相應

8、的二次函數(shù)有惟一的零點，即這兩個相等的實數(shù)根就是對應的零點；（3）當時，一元二次方程沒有實數(shù)根，相應的二次函數(shù)沒有零點。整個分析過程要讓學生懂得把新知識點與舊知識點結(jié)合起來，這有利于學生對新知識的掌握。</p><p>　　類型Ⅴ：利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有零點，有幾個零點：</p><p><b>　?。?）；（2）；</b></p><p&

9、gt;　　（3）； （4）.</p><p>　　四．二次函數(shù)的知識，可以準確反映學生的數(shù)學思維</p><p>　　類型Ⅵ（求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。</p><p>　　解：由題意可知，函數(shù)的定義域為實數(shù)R.</p><p><b>　　設(shè)u=().</b></p><p>

10、<b>　　則，</b></p><p>　　故原函數(shù)由u=與復合而成。</p><p><b>　　在R上是增函數(shù)，</b></p><p>　　而u=在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，</p><p>　　在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。</p><p><b>　　又各

11、此時，</b></p><p><b>　　當時，而，</b></p><p><b>　　函數(shù)的值域為。</b></p><p>　　求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)“同增異減”的方法來求解。即內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性相同時，復合函數(shù)就是增函數(shù)；如果內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性互異，此時復合函數(shù)就是減函數(shù)。</

12、p><p>　　二次函數(shù)，它有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的初等函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學問題，考查學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識和綜合數(shù)學素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學生運用數(shù)學知識和思想方法解決數(shù)學問題的能力。</p><p>　　本文就高一學年中有關(guān)二次函數(shù)的進一步應用進行了分析，望各位同仁能重視這一方