求解在立體斜面上滑動的物體的速度

1、<p>　　求解在立體斜面上滑動的物體的速度</p><p>　　一物體放在斜面上，物體與斜面間的摩擦因數(shù)恰好滿足，為斜面的傾角。今使物體獲得一水平速度而滑動，如圖一，求：</p><p>　　物體在軌道上任意一點(diǎn)的速度V與的關(guān)系，設(shè)為速度與水平線的夾角。</p><p>　　解：物體在某一位置所受的力有：重力，彈力以及摩擦力。摩擦力總是與運(yùn)動速度V的方向

2、相反，其數(shù)值</p><p>　　重力在斜面上的分力為，如圖二，將分解為兩個分力：是沿軌跡切線方向的分力， ；是沿軌跡法向的分力，，如圖三。</p><p>　　根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得運(yùn)動方程為</p><p><b>　　（1）</b></p><p><b>　?。?）</b></p>

3、<p><b>　　由（1），</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　得到</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　式中是t的函數(shù)，但是這個函數(shù)是個未知函數(shù)，因此還不能對上

4、式積分，要設(shè)法在與t中消去一個變量，才能積分，注意到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　而表示曲線在該點(diǎn)的曲率半徑，根據(jù)（2）式，</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由式（3）（4）（5），可得到</p><p>&

5、lt;b>　　，</b></p><p><b>　　積分，得到</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　運(yùn)用積分法求解鏈條的速度及其時間</p><p>　　一條勻質(zhì)的金屬鏈條，質(zhì)量為m，掛在一個光滑的釘子上，一邊長度為，另一邊長度為而且，如圖一。試求

6、：</p><p>　　鏈條從靜止開始滑離釘子時的速度和所需要的時間。</p><p>　　解：設(shè)金屬鏈條的線密度為當(dāng)一邊長度為，另一邊長度為時受力如圖二所示，則根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，得出運(yùn)動方程</p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　因?yàn)椋?lt;/b></p>

7、<p>　　令可以求得鏈條滑離釘子時的速度大小</p><p><b>　　再由得到</b></p><p><b>　　積分，得到</b></p><p>　　令x=,可以求得鏈條滑離釘子所需的時間為</p><p>　　求解棒下落過程中的最大速度</p><p&

8、gt;　　在密度為的液體上方有一懸掛的長為L,密度為的均勻直棒，棒的下端剛與液面接觸。今剪斷細(xì)繩，棒在重力和浮力的作用下下沉，若，求：</p><p>　　棒下落過程中的最大速度。</p><p>　　解：剪斷細(xì)繩后，直棒在下沉過程中受到重力和浮力的作用，如圖一所示。根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，有</p><p><b>　?。?）</b></p&

9、gt;<p>　　隨著棒往下沉，浮力逐漸增大。當(dāng)直棒所受合力為零，即時，棒的加速度為零，速度最大。設(shè)棒達(dá)到最大速度時，棒浸入液體中的長度為，設(shè)棒的截面積為S，則有</p><p><b>　　解得，</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　取x坐標(biāo)如圖所示，則（1）式可以寫為&

10、lt;/p><p>　　做變量代換，令代入上式，得到</p><p><b>　　兩邊積分，得到</b></p><p><b>　　得到，</b></p><p>　　將（2）式代入（3）式，得棒的最大速度為</p><p>　　運(yùn)用微分法求解阻尼平拋</p>&

11、lt;p>　　質(zhì)量為m的物體，以初速為，方向與地面成角拋出。如果空氣的阻力不能忽略，并設(shè)阻力與速度成正比，即，k為大于零的常數(shù)。求：</p><p><b>　　物體的運(yùn)動軌道。</b></p><p>　　解：根據(jù)受力情況，列出牛頓運(yùn)動定律方程</p><p>　　其分量式， （1）</p><p>

12、<b>　?。?）</b></p><p><b>　　將代入式（1），得</b></p><p><b>　　改寫成</b></p><p><b>　　兩邊積分，得到</b></p><p>　　可見由于空氣阻力的存在，x方向的速度不再是常數(shù)，而隨時間

13、逐漸衰減。由于再積分，并以t=0時x=0,代入得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　同理，由于式（2）轉(zhuǎn)化為</p><p>　　積分，并以t=0時，代入，得到</p><p>　　可見，y方向的速度也不再是勻減速的。再將上式對時間積分，并以t=0時y=0代入，得到</p>

14、<p><b>　　（4）</b></p><p>　　由（3）（4）兩式消去t,得到有阻力時的軌道方程</p><p>　　顯然由于空氣阻力的作用，拋體的軌道不再是簡單的拋物線了，實(shí)際軌道將比理想軌道向左下方偏離，如圖一。</p><p>　　例如：以初速620m/s,仰角發(fā)射的步槍子彈的射程，沒有空氣阻力時應(yīng)為40km,而實(shí)際射程

15、只有4km.</p><p><b>　　求解飛機(jī)的滑行距離</b></p><p>　　飛機(jī)以的水平速度觸地滑行著陸。滑行期間受到空氣的阻力為，升力為，其中V是飛機(jī)的滑行速度。設(shè)飛機(jī)與跑道間的摩擦系數(shù)為，試求：</p><p>　　飛機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。</p><p>　　解：取飛機(jī)觸地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取飛機(jī)滑

16、行方向?yàn)閤軸。飛機(jī)在水平方向上受力為：摩擦力，空氣阻力為；在豎直方向上受力為：重力、支持力和升力如圖一所示，應(yīng)用牛頓第二定律，得到</p><p>　　由上兩式消去N，得到</p><p><b>　　利用</b></p><p><b>　　得到</b></p><p><b>　　分離

17、變量，積分</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　得到</b></p><p>　　在飛機(jī)觸地的瞬間，支持力N=0,由運(yùn)動方程，得到</p><p><b>　　于是</b></p><p>　　這就是飛

18、機(jī)從觸地到停止所滑行的距離。</p><p>　　社（升阻比），。代入數(shù)值計(jì)算后，得到</p><p><b>　　x=221m.</b></p><p>　　求解阻尼自由落體和阻尼豎直上拋的相遇問題</p><p>　　兩小球的質(zhì)量均為m，小球1從離地面高度為h處由靜止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速同時豎直上

19、拋。設(shè)空氣阻力與小球的運(yùn)動速率成正比，比例系數(shù)為k(常量)。試求：</p><p>　　兩小球相遇的時間、地點(diǎn)以及相遇時兩小球的速度。</p><p>　　解：兩小球均受重力和阻力作用，取坐標(biāo)如圖一所示，兩小球的運(yùn)動方程可統(tǒng)一表示為</p><p>　　它們運(yùn)動狀態(tài)的差別僅由于初始條件的不同而引起的，故</p><p><b>　　

20、分離變量</b></p><p>　　對于小球1，初始條件為時，故</p><p><b>　　(1) </b></p><p>　　對于小球2，初始條件是t=0時，故</p><p>　　得到 （2）</p><p><b>　　由（1）式，得到</b&g

21、t;</p><p><b>　　積分，得到</b></p><p><b>　　由式（2）得到</b></p><p><b>　　積分，得到</b></p><p>　　兩小球相遇時，相遇時間為，由（3（4）兩式，得到</p><p><b&g

22、t;　　，</b></p><p><b>　　故</b></p><p>　　把上述結(jié)果代入（3）或者（4），得到兩小球相遇的地點(diǎn)</p><p>　　代入（1）（2），得到兩小球相遇時的速度</p><p>　　討論：（1）當(dāng)阻力很小時，即當(dāng)時，利用展開式</p><p><

23、b>　　上述結(jié)果簡化為</b></p><p>　　這正是不考慮空氣阻力時的結(jié)果。</p><p>　?。?）當(dāng)考慮如提設(shè)的空氣阻力時，由上述結(jié)果可知，只在下述條件下</p><p><b>　　或者</b></p><p>　　兩小球才有可能相遇。</p><p>　　在非慣性

24、系中求解球環(huán)系統(tǒng)的運(yùn)動情況</p><p>　　一輕繩的兩端分別連接小球A和小環(huán)B，球與環(huán)的質(zhì)量相等，小環(huán)B可在拉緊的鋼絲上作無摩擦的滑動，如圖一?，F(xiàn)使小球在圖示的平面內(nèi)擺動。求：</p><p>　　小球擺離鉛垂線的最大角度時小環(huán)和小球的加速度。</p><p>　　解：當(dāng)小球擺動時，小環(huán)沿鋼絲做加速運(yùn)動。以小環(huán)B為參考系，則小球受重力和繩子拉力外，還受慣性力的作

25、用，如圖二。其加速度沿圓弧的切線方向。在最大擺角為時的運(yùn)動方程為</p><p>　　小環(huán)B在水平方向的運(yùn)動方程為.</p><p><b>　　解方程，得到</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　小球A相對地的加速度，取如圖二所示的坐標(biāo)系，則有</p>