2.3冪函數(shù)

1、,,,,2.3 冪函數(shù),茶陵二中 羅和平,冪函數(shù),,,,,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)冪函數(shù)的圖象必過點(diǎn)(0,0)和(1,1). (　　)(2)冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中的任意一個(gè)象限. (　　)(3)冪函數(shù)y=xα(α為常數(shù))的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性會(huì)因α的不同而不同. (　　)答案:(1)×　(2)×　(3)√,,探究

2、一冪函數(shù)的概念,【例1】 函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)是增函數(shù),試確定m的值.分析:由已知f(x)=(m2-m-5)·xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)是增函數(shù),可先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,再利用單調(diào)性確定m的值.解:根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.當(dāng)m=3時(shí),f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數(shù);當(dāng)m=-2時(shí),f(x)=x-3在

3、(0,+∞)上是減函數(shù),不符合要求.故m=3.,,變式訓(xùn)練1　已知f(x)=(m2-m-1) ,問當(dāng)m為何值時(shí),f(x)既是冪函數(shù)又是偶函數(shù)? 解:∵f(x)是冪函數(shù),∴m2-m-1=1,∴m=2或m=-1.當(dāng)m=2時(shí),m2-2m-2=-2,此時(shí)f(x)=x-2為偶函數(shù).當(dāng)m=-1時(shí),m2-2m-2=1,此時(shí)f(x)=x為奇函數(shù),不合題意.綜上所述,m的值為2.,,探究二冪函數(shù)的圖象,【例

4、2】已知函數(shù)y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,則a,b,c的大小關(guān)系為(　　),A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b,分析:利用冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征和性質(zhì),結(jié)合所給圖象分析并判斷a,b,c的大小關(guān)系.解析:由冪函數(shù)的圖象特征知,c1,0<b<1.故c<b<a.答案:A,,,探究三冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,,,因?qū)绾瘮?shù)

5、的單調(diào)性理解不全面而造成錯(cuò)解典例若(a+1)-13-2a,解得a>,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是,錯(cuò)因分析:函數(shù)f(x)=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均為減函數(shù),但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有單調(diào)性,錯(cuò)解中錯(cuò)用了函數(shù)單調(diào)性,從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.,正解:由于冪函數(shù)f(x)=x-1在(-∞,0)及(0,+∞)上均為減函數(shù),且在(-∞,0)上有f(x)0,,,1 2 3 4 5,,,,

6、,,,,1 2 3 4 5,,,,,,2.函數(shù) 的圖象大致是(　　),解析:因?yàn)楹瘮?shù)y= 在(0,0)處有定義,且該函數(shù)為奇函數(shù),排除選項(xiàng)A,D;又 >1,排除選項(xiàng)C,故選B.答案:B,,,1 2 3 4 5,,,,,,3.下列命題正確的是(　　)A.當(dāng)α=0時(shí),函數(shù)y=xα的圖象是一條直線

7、B.冪函數(shù)的圖象只在第一象限出現(xiàn)C.若冪函數(shù)y=xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則y=xα在定義域內(nèi)是增函數(shù)D.冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限解析:當(dāng)α=0時(shí),函數(shù)y=xα的定義域?yàn)閧x|x≠0,x∈R},其圖象為兩條射線,故A選項(xiàng)不正確;易知選項(xiàng)B不正確;冪函數(shù)y=x-1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但其在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性,故選項(xiàng)C不正確;當(dāng)x>0,α∈R時(shí),y=xα>0,則冪函數(shù)的圖象都不在第四象限,故選項(xiàng)D正確.答案:D,,,