小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識培訓(xùn)

1、1,小學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)知識培訓(xùn),2013年5月,2,教師專業(yè)知識結(jié)構(gòu)的內(nèi)容分類,教師專業(yè)知識,本體性知識條件性知識實踐性知識,,學(xué)科知識教育理論教學(xué)經(jīng)驗,3,,“要給學(xué)生一杯水，教師就要有一桶水” （桶論） “活水論”教師要有豐厚的知識底蘊,,4,,從一年級下冊到六年級下冊，人教版課標(biāo)教材在每一冊的最后一個單元都編排了“數(shù)學(xué)廣角”。 跟以往義務(wù)教育教材相比，這部分內(nèi)容是新

2、增加的，這是新課標(biāo)教材的一大亮點。,5,整套教材“數(shù)學(xué)廣角” 的編排,6,基本類型,植樹問題行程問題雞兔同籠問題抽屜原理稱球問題,求平均數(shù)問題統(tǒng)籌問題立體圖形邏輯推理,7,,雞兔同籠問題,8,“雞兔同籠”是古代著名的數(shù)學(xué)趣題,解決策略:（1）列表法（2）假設(shè)法※（3）方程法（4）二元一次方程組（初中八年級）,9,,例 雞兔同籠，共有8個頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？列表法,10,雞兔同籠問題假設(shè)法,例1

3、：今有雞、兔共居一籠，已知頭共35個，腳共94只。問雞、兔各有多少只？分析與解答：雞兔同籠問題往往用假設(shè)法來解答，即假設(shè)全是雞或全是兔，腳的總數(shù)必然與條件矛盾，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾適當(dāng)調(diào)整，從而找到正確答案。解法一假設(shè)全是雞，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是2×35=70只，與實際相比，減少了94－70=24只。減少的原因是把一只兔當(dāng)作一只雞時，要減少4－2=2只腳。所以兔有24÷2=12只，雞有35－12=23只。解

4、法二假設(shè)全是兔，那么相應(yīng)的腳的總數(shù)應(yīng)是4×35=140只，與實際相比，增加了140－94=46只。增加的原因是把一只雞當(dāng)作一只兔時，要增加4－2=2只腳。所以雞有46÷2=23只，兔有35－23=12只。 答：雞有23只，兔子有12只。,11,小結(jié),運用假設(shè)法的思路解應(yīng)用題，先要根據(jù)題意假設(shè)未知的兩個量是同一種量，或者假設(shè)要求的兩個未知量相等；其次，要根據(jù)所作的假設(shè)，注意到數(shù)量關(guān)系發(fā)生了什么變化并作出適當(dāng)?shù)?/p>

5、調(diào)整。概括起來，解“雞兔同籠問題”的基本公式是： 雞數(shù)＝（每只兔腳數(shù)×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（每只兔子腳數(shù)－每只雞的腳數(shù)） 兔數(shù)＝雞兔總數(shù)－雞數(shù),12,方程法,例 雞兔同籠，共有8個頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？解：設(shè)有X只兔，那么就有（8-X）只雞。 雞兔共有26只腳，就是： 4X+2(8-X)=26 2X+16=26

6、 X=5 8-5=3(只）,13,列方程組,例 雞兔同籠，共有8個頭，26只腳?；\中雞兔各有多少只？ 解：設(shè)有X只兔，有Y只雞。則 X+Y=8 4X+2Y=26 解方程組得X=5,Y=3,,14,相關(guān)習(xí)題,面值是2元、5元的人民幣共27張，合計99元。面值是2元、5元的人民幣各有多少張？分析與解答：這道題類似于“雞兔同籠”問題。假設(shè)全是面

7、值2元的人民幣，那么27張人民幣是2×27=54元，與實際相比減少了99－54=45元，減少的原因是每把一張面值5元的人民幣當(dāng)作一張面值2元的人民幣，要減少5－2=3元，所以，面值是5元的人民幣有45÷3=15張，面值2元的人民幣有27－15=12張。,15,相關(guān)習(xí)題,50名同學(xué)去劃船，一共乘坐11只船，其中每條大船坐6人，每條小船坐4人。問大船和小船各幾只？ 小明參加猜謎比賽，共20道題，規(guī)定猜對一道得5分，猜錯

8、一道倒扣3分（不猜按錯算）。小明共得60分，他猜對了幾道？,16,邏輯推理問題,,17,解題策略,解答推理問題常用的方法有：排除法、假設(shè)法、反證法、圖表法。,18,簡單推理,[ 例1 ] 小蘭、小梅、小青三人進行跑步比賽，賽后小蘭說：“我不是第二名?！毙∶氛f：“我不是第一名。”小青說：“我前面沒有人。” 分析：我們可以用填表的方法找答案，具體方法如下：,19,簡單推理,例2：有一個正方體，每個面分別寫上漢字：數(shù)學(xué)奧林匹克。三個人從不

9、同角度觀察的結(jié)果如下圖所示。這個正方體的每個漢字的對面各是什么字？ 分析與解答：如果直接思考某個漢字的對面是什么字比較困難，可以換一種思維方式，想想某個漢字的對面不是什么字。(排除法）從圖（1）可知，“奧”的對面不是“林”、“匹”，從圖（2）可知，“奧”的對面不是“數(shù)”、“學(xué)”。所以，“奧”的對面一定是“克”。從圖（2）可知，“數(shù)”的對面不是“奧”、“學(xué)”；從圖（3）可知，“數(shù)”的對面不是“克”、“林”，所以“數(shù)”

10、的對面一定是“匹”，剩下“學(xué)”的對面一定是“林”。,20,,例3：甲、乙、丙三個孩子踢球打碎了玻璃，甲說：“是丙打碎的?！币艺f：“我沒有打碎破璃?！北f：“是乙打碎的?！彼麄儺?dāng)中有一個人說了謊話，到底是誰打碎了玻璃？分析與解答：由題意推出結(jié)論，必須符合他們中只有一個人說了謊，推理時可先假設(shè)，看結(jié)論和條件是否矛盾。如果是甲打碎的，那么甲說謊話，乙說的是真話，丙說的是謊話。這樣兩人說的是謊話，與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是甲打碎的

11、。如果是乙打碎的，那么甲說的是謊話，乙說的是謊話，丙說的是真話，與他們中只有一人說謊相矛盾，所以不是乙打碎的。如果是丙打碎的，那么甲說的是真話，乙說的是真話，而丙說的是謊話。這樣有兩個說的是真話，符合條件中只有一個人說的是謊話，所以玻璃是丙打碎的。,21,,推理問題一般可以從以下幾方面考慮：1，選準(zhǔn)突破口，分析時綜合幾個條件進行判斷；2，根據(jù)題中條件，在推理過程中，不斷排除不可能的情況，從而得出要求的結(jié)論；3，對可能出現(xiàn)的情況

12、作出假設(shè)，然后再根據(jù)條件推理，如果得到的結(jié)論和條件不矛盾，說明假設(shè)是正確的；4，遇到比較復(fù)雜的推理問題，可以借助圖表進行分析。,22,抽屜原理,,23,抽屜原理,專題簡析：把12個蘋果放到11個抽屜中去，那么，至少有一個抽屜中放有兩個或兩個以上蘋果，這個事實的正確性是非常明顯的。把它進一步推廣，就可以得到數(shù)學(xué)里重要的抽屜原理。用抽屜原理解決問題，一定要注意哪些是“抽屜”，哪些是“蘋果”，并且要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識制造抽屜，巧妙地加以

13、應(yīng)用，這樣看上去十分復(fù)雜，甚至無從下手的題目才能順利地解答。,24,抽屜原理,例題1 敬老院買來許多蘋果、橘子和梨，每位老人任意選兩個，那么，至少應(yīng)有幾位老人才能保證必有兩位或兩位以上老人所選的水果相同？思路導(dǎo)航：根據(jù)抽屜原理，要保證必有兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜中，蘋果總數(shù)至少要比抽屜數(shù)多1。這里，我們可以把敬老院老人人數(shù)看作抽屜原理中的蘋果數(shù)，關(guān)鍵是看抽屜數(shù)了。因為三種水果任選兩個的搭配有：蘋果——蘋果；蘋果——橘子；蘋

14、果——梨；橘子——橘子；橘子——梨；梨——梨共6種，所以，既然有6個抽屜，必須至少有7個蘋果才能保證兩個或兩個以上的蘋果放在同一抽屜里，即至少要7位老人。,25,抽屜原理,例題2 幼兒園大班有41個小朋友，老師至少拿幾件玩具隨便分給大家，才能保證至少有一個小朋友能得兩件玩具？思路導(dǎo)航：41個小朋友相當(dāng)于41個抽屜，玩具的件數(shù)相當(dāng)于蘋果。根據(jù)抽屜原理，玩具的件數(shù)應(yīng)比41多1，所以至少要拿42件玩具。,26,抽屜原理,例題3 盒子里混裝著

15、5個白色球和4個紅色球，要想保證一次能拿出兩個同顏色的球，至少要拿出多少個球？思路導(dǎo)航：如果每次拿2個球會有三種情況：（1）一個白球，一個紅球；（2）兩個白球；（3）兩個紅球。不能保證一次能拿出兩個同顏色的球。如果每次拿3個球會有四種情況：（1）一個白球，兩個紅球；（2）一個紅球，兩個白球；（3）三個白球；（4）三個紅球。這樣每次都能保證拿出兩個同顏色的球，所以至少要拿出3個球。,27,,例題4 一個布袋里裝有紅、黃、藍(lán)襪子各5只，

16、問一次至少取出多少只，才能保證每種顏色至少有一只？思路導(dǎo)航：我們從最不利的情況著手，如果先取5只全是紅的，那么只有再取5只；如果5只又全是黃的，這時，再取1只一定是藍(lán)的了，這樣取5×2＋1=11只才能保證每種顏色至少有1只。,28,抽屜原理,例題5 三（2）班有50個同學(xué)，在學(xué)雷鋒活動中，每人單獨做了些好事，他們共做好事155件。問：是否有人單獨做了4件或4件以上的好事？思路導(dǎo)航：根據(jù)條件可知：三（2）班有50個同學(xué)，假如

17、每個同學(xué)做3件好事，那就做了3×50=150件好事，而他們做的好事是155件，就多做了155－150=5件，所以完全可能有一個同學(xué)做了4件或4件以上好事。,29,長方體與正方體,,30,長方體和正方體,解答稍復(fù)雜的立體圖形問題要注意幾點：1，必須以基本概念和方法為基礎(chǔ)，同時把構(gòu)成幾何圖形的諸多條件溝通起來；2，依賴已經(jīng)積累的空間觀念，觀察經(jīng)過割、補后物體的表面積或體積所發(fā)生的變化；3，求一些不規(guī)則的物體體積時，可以通過變

18、形的方法來解決。,31,,例題1 有一個長方體形狀的零件，中間挖去一個正方體的孔（如圖），你能算出它的體積和表面積嗎？（單位：厘米）（1）先求出長方體的體積，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一個孔，所以體積減少了2×2×2=8（立方厘米），這個零件的體積是240－8=232（立方厘米）；（2）長方體完整的表面積是（8×5＋8×6＋6×5

19、）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一個孔，它的表面積減少了一個（2×2）平方厘米的面，同時又增加了凹進去的5個（2×2）平方厘米的面，因此，這個零件的表面積是236＋2×2×4=252（平方厘米）。,32,,例題2一個正方體的表面涂滿了紅色，然后如下圖切開，切開的小正方體中：（1）三個面涂有紅色的有幾個？（2）二個面涂有紅色的有幾個？（3）一個面涂有紅色的有幾個？（4）六個

20、面都沒有涂色的有幾個？分析 按題中的要求切，切成的小正方體一共有3×3×3=27個。（1）三個面涂有紅色的小正方體在大正方體的頂點處，共有8個；（2）二個面涂有紅色的小正方體在大正方體的棱上，共有1×12=12個；（3）一個面涂有紅色的小正方體在大正方體的六個面上，共有1×6=6個；（4）六個面都沒有涂色的在大正方體的中間，有27－（8＋12＋6）=1個。,33,統(tǒng)籌問題,,34,最佳

21、安排,專題簡析：我們每天的生活、學(xué)習(xí)都離不開時間，合理地安排時間，往往會達到事半功倍的效果。科學(xué)地安排時間的方法，就叫做最佳安排。在進行最佳安排時，要考慮以下幾個問題：（1）要做哪幾件事：（2）做每件事需要的時間；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同時做。在學(xué)習(xí)、生產(chǎn)和工作中，只有盡可能地節(jié)省時間、人力和物力，才能發(fā)揮出更大的效率。,35,統(tǒng)籌問題,例題1 明明早晨起來要完成以下幾件事情：洗水壺1分鐘

22、，燒開水12分鐘，把水灌入水瓶要2分鐘，吃早點要8分鐘，整理書包2分鐘。應(yīng)該怎樣安排時間最少？最少要幾分鐘？思路導(dǎo)航：經(jīng)驗表明：能同時做的事盡量要同時去做，這樣節(jié)省時間。水壺不洗，不能燒開水，因而洗水壺不能和燒開水同時進行；而吃早點和整理書包可以和燒開水同時進行。這一過程可用方框圖表示： 從圖上可以看出，洗水壺要1分鐘，接著燒開水要12分鐘，在等水開的同時吃早點、整理書包，水開了就灌入水瓶，共需15分鐘。,36,統(tǒng)籌

23、問題,（例題2 ）貼燒餅的時候，第一面需要烤3分鐘，第二面需要烤2分鐘，而貼燒餅的架子上一次最多只能放2個燒餅。要貼3個燒餅至少需要幾分鐘？思路導(dǎo)航：先放第一、二兩個燒餅貼第一面，過3分鐘后，拿下第一個，并把第二個翻過去，并放上第三個燒餅；過2分鐘拿下第二個，并放第一個燒餅，過1分鐘把第三個燒餅翻過來；再過1分鐘取下第一個燒餅，再過1分鐘三個燒餅全貼完了，只用了8分鐘。3＋2＋1＋1＋1=8分鐘,37,每次只能烙兩張餅,兩面都要烙

24、,每面3分鐘。,客人、媽媽和我每人一張。,怎樣才能盡快吃上餅？,1張,2張,3張,,,,,,,,烙1張餅要幾分鐘呢？,一張一張地烙太費時間了。,可以先烙兩張，再烙一張，這樣省時間。,6分,烙1張餅要6分鐘，烙3張餅要18分鐘。,6分,12分？,9分,4張,？分,5張,？分,……,2,能否滲透“轉(zhuǎn)化”（“化歸”）思想 5張＝2張＋2張＋1張 ＝2張＋3張大于3的整數(shù)都能寫成幾

25、個2或幾個2與一個3的和,繼續(xù)試探,找出規(guī)律,38,平均數(shù)問題,,39,平均數(shù)問題,專題簡析：在日常生活中，我們會遇到下面的問題：有幾個杯子，里面的水有多有少，為了使杯中水一樣多，就將水多的杯子里的水倒進水少的杯子里，反復(fù)幾次，直到幾個杯子里的水一樣多。這就是我們所講的“移多補少”，通常稱之為平均數(shù)問題。解答平均數(shù)應(yīng)用題關(guān)鍵是要求出總數(shù)量和總份數(shù)，然后再根據(jù)“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”這個數(shù)量關(guān)系式來解答。,40,新增兩個概

26、念,中位數(shù)：n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。如一組數(shù)據(jù)1.5，1.5，1.65，1.6，1.7，1.7，1.75，1.8的中位數(shù)是(1.65+1.7) ÷2,即1.675；這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.5和1.7,41,,（例1）某3個數(shù)的平均數(shù)是2，如果把其中一個數(shù)改為4，平均數(shù)就變成了3。被改的數(shù)原來是多少

27、？分析：原來三個數(shù)的和是2×3=6，后來三個數(shù)的和是3×3=9，9比6多出了3，是因為把那個數(shù)改成了4。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是4－3=1。,42,,（例2）五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績91.5分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一位同學(xué)的98分誤作89分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是91.7分，五一班有多少名同學(xué)？分析：98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成績上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包

28、含有幾個0.2，五一班就有幾名同學(xué)。,43,行程問題,,44,行程問題,專題簡析：我們把研究路程、速度、時間這三者之間關(guān)系的問題稱為行程問題。行程問題主要包括相遇問題、相背問題和追及問題。解答行程問題時，要理清路程、速度和時間之間的關(guān)系，緊扣基本數(shù)關(guān)系“路程=速度×時間”來思考，對具體問題要作仔細(xì)分析，弄清出發(fā)地點、時間和運動結(jié)果。,45,,例1：王欣和陸亮兩人同時從相距2000米的兩地相向而行，王欣每分鐘行110米，陸亮

29、每分鐘行90米。如果一只狗與王欣同時同向而行，每分鐘行500米，遇到陸亮后，立即回頭向王欣跑去；遇到王欣后再回頭向陸亮跑去。這樣不斷來回，直到王欣和陸亮相遇為止，狗共行了多少米？分析與解答：要求狗共行了多少米，一般要知道狗的速度和狗所行的時間。根據(jù)題意可知，狗的速度是每分鐘行500米，關(guān)鍵是要求出狗所行的時間，根據(jù)題意可知：狗與主人是同時行走的，狗不斷來回所行的時間就是王欣和陸亮同時出發(fā)到兩人相遇的時間，即2000÷（11

30、0＋90）=10分鐘。所以狗共行了500×10=5000米。,46,,例2：甲、乙兩沿運動場的跑道跑步，甲每分鐘跑290米，乙每分鐘跑270米，跑道一圈長400米。如果兩人同時從起跑線上同方向跑，那么甲經(jīng)過多長時間才能第一次追上乙？分析與解答：這是一道封閉線路上的追及問題。甲和乙同時同地起跑，方向一致。因此，當(dāng)甲第一次追上乙時，比乙多跑了一圈，也就是甲與乙的路程差是400米。根據(jù)“路程差÷速度差=追及時間”即可求出

31、甲追上乙所需的時間：400÷（290－270）=20分鐘。,47,,例3 一列火車長180米，每秒鐘行25米。全車通過一條120米的山洞，需要多長時間？分析 由于火車長180米，我們以車頭為準(zhǔn)，當(dāng)車進入山洞行120米，雖然車頭出山洞，但180米的車身仍在山洞里。因此，火車必須再行180米，才能全部通過山洞。即火車共要行180＋120=300米，需要300÷25=12秒。,48,稱球問題（找次品）,,49,稱球問題

32、,稱球問題是一類傳統(tǒng)的趣味數(shù)學(xué)問題，它鍛煉著一代又一代人的智力，歷久不衰。,50,,［經(jīng)典例題］例1 有4堆外表上一樣的球，每堆4個。已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每個重10克，次品球每個重11克，請你用天平只稱一次，把是次品的那堆找出來。解 ：依次從第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4個球，這10個球一起放到天平上去稱，總重量比100克多幾克，第幾堆就是次品球。,51,,例2 有27個外表上一樣的球，其中只有一個是次品

33、，重量比正品輕，請你用天平只稱三次（不用砝碼），把次品球找出來。解 ：第一次：把27個球分為三堆，每堆9個，取其中兩堆分別放在天平的兩個盤上。若天平不平衡，可找到較輕的一堆；若天平平衡，則剩下來稱的一堆必定較輕，次品必在較輕的一堆中?！　〉诙危喊训谝淮闻卸檩^輕的一堆又分成三堆，每堆3個球，按上法稱其中兩堆，又可找出次品在其中較輕的那一堆?！　〉谌危簭牡诙握页龅妮^輕的一堆3個球中取出2個稱一次，若天平不平衡，則較輕的就是次品

34、，若天平平衡，則剩下一個未稱的就是次品。,52,植樹問題,,53,植樹問題,專題簡析：1．線段上的植樹問題可以分為以下三種情形：（1）如果植樹線路的兩端都要植樹，那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1，即：棵數(shù)=段數(shù)＋1；（2）如果一端植樹，另一端不植樹，那么棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)；（3）如果兩端都不植樹，那么棵數(shù)應(yīng)比段數(shù)少1，即：棵數(shù)=段數(shù)－1。2．在封閉的路線上植數(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)。,54,,例1：

35、城中小學(xué)在一條大路邊從頭至尾栽樹28棵，每隔6米栽一棵。這條路長多少米？分析與解答：題中已知栽樹28棵，28棵樹之間有28－1=27段，每隔6米為一段，所以這條大路長6×27=162米。,55,,例2：在一個周長是240米的游泳池周圍栽樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵樹？分析與解答：這道題是封閉線路上的植樹問題，植樹的棵數(shù)和段數(shù)相等。240÷5=48（棵）,56,,例3：一個木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損

36、壞部分鋸下來1米，然后鋸了5次，鋸成同樣長的短木條。每根短木條長多少米？分析與解答：根據(jù)題意，把長19－1=18米的木條鋸了5次，可以鋸成5＋1=6段，所以每根短木條長18÷6=3米。,57,,例4：有一幢10層的大樓，由于停電電梯停開。某人從1層走到3層需要30秒，照這樣計算，他從3層走到10需要多少秒？分析與解答：把每一層樓所需要的時間看作一個間隔，1層至3層有兩個時間間隔，所以每個間隔用去的時間是30÷（3