拋物線的焦點(diǎn)弦-經(jīng)典性質(zhì)及其證明過(guò)程

1、1有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦問題的探討有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦問題的探討過(guò)拋物線(p0)的焦點(diǎn)F作一條直線L和此拋物線相交于A、B兩點(diǎn)pxy22?)(11yx)(22yx結(jié)論結(jié)論1：pxxAB???21pxxpxpxBFAFAB?????????2121)2()2(結(jié)論結(jié)論2：若直線：若直線L的傾斜角為的傾斜角為，則弦長(zhǎng)，則弦長(zhǎng)??2sin2pAB?證:(1)若時(shí)直線L的斜率不存在，此時(shí)AB為拋物線的通徑2???結(jié)論得證???pAB2(2)若時(shí)設(shè)直線L的

2、方程為：即代入拋物線方程得2????tan)2(pxy??2cotpyx????由韋達(dá)定理0cot222????ppyy??cot221221pyypyy????由弦長(zhǎng)公式得???22212sin2)cot1(2cot1ppyyAB??????結(jié)論結(jié)論3：過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑長(zhǎng)最小過(guò)焦點(diǎn)的弦中通徑長(zhǎng)最小的最小值為即過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)中通徑長(zhǎng)最短.pp2sin21sin22???????ABp2結(jié)論結(jié)論4：)(832為定值pABSoAB??3證：因

3、為，而pypykyppyyxykoBoA2212111122221???????221pyy??所以所以三點(diǎn)共線。同理可征（2）（3）（4）122222oBoAkpyyppk?????結(jié)論結(jié)論10：pFBFA211??證：過(guò)A點(diǎn)作AR垂直X軸于點(diǎn)R，過(guò)B點(diǎn)作BS垂直X軸于點(diǎn)S，設(shè)準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為Ex?的傾斜角為因?yàn)橹本€L則??cos1cos????????PAFAFAFPFREFERPAF?cos11???同理可得PBF?cos11???

4、pFBFA211??結(jié)論結(jié)論11：證:AABBEAEBAAFABBBFFABFEAEBAAEFBB1111111111????????EBBEAAEBB90111111???????????＝相似于EAAEBBEAA?PEQEFBEFAEF90EBBBEFEAAAEF11?????????平分角即＝＝＋＝＋?0KKXBEAEBEAEBFAFBEAE＝＋軸對(duì)稱關(guān)于和直線直線????(4)90AEBFBEFAF2????＝＝＝時(shí)，當(dāng)??2p

5、xy2pxkyL22?????????將其代入方程的方程為時(shí)，設(shè)直線當(dāng)????k2kpxx)yB(x)yA(x04pk2)xp(kxk2221221122222??????則設(shè)得x1x2=假設(shè)4p2122y1KKBEAE2211BEAE????????pxypx＝－則????????????????????????????????????????????2px2px2pxk2pxk2px2pxyy21212121即AEBEAFAE(1)