拋物線及其性質(zhì)知識點(diǎn)大全和經(jīng)典例題及解析

1、1拋物線及其性質(zhì)【考綱說明考綱說明】1、掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問題。2、通過類比，找出拋物線與橢圓，雙曲線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系。【知識梳理知識梳理】1拋物線定義拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)F和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線l2拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù)p幾何意義參數(shù)p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.開口方向右左上下標(biāo)準(zhǔn)方程22(0)ypxp??22

2、(0)ypxp???22(0)xpyp??22(0)xpyp???焦點(diǎn)位置X正X負(fù)Y正Y負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo)(0)2p(0)2p?(0)2p(0)2p?準(zhǔn)線方程2px??2px?2py??2py?范圍0xyR??0xyR??0yxR??0yxR??對稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（00）離心率1e?通徑2p焦半徑11()Axy12pAFx??12pAFx???12pAFy??12pAFy???焦點(diǎn)弦長AB12()xxp??12()xxp???12(

3、)yyp??12()yyp???焦點(diǎn)弦長以為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切ABl3【例1】P為拋物線上任一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，則以PF為直徑的圓與y軸（）pxy22?相交相切相離位置由P確定.A.B.C.D【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線是02pF??????.作PH⊥于H，交y軸于Q，那么，:2plx??lPFPH?且.作MN⊥y軸于N則MN是梯形PQOF的2pQHOF??中位線，.故以??111222MNOFPQPHPF????PF為直徑的圓與y

4、軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結(jié)論則分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦）焦點(diǎn)弦——?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：??022?ppxy?????1122AxyBxy（1）（2）12ABxxp???pBFAF211??【證明】（1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作l，1AAl

5、?111112pABBlBAAx????于，則AF.兩式相加即得：122pBFBBx???12ABxxp???（2）當(dāng)AB⊥x軸時，有成立；AFBFp??，112AFBFp???當(dāng)AB與x軸不垂直時，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：.代入拋物線方程：2pykx????????.化簡得：2222pkxpx????????????222222014pkxpkxk????∵方程（1）之二根為x1，x2，∴.1224kxx??XYPHMNO(0)2pF: