拋物線的焦點(diǎn)弦經(jīng)典性質(zhì)及其證明過程

1、有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦問題的探討 有關(guān)拋物線焦點(diǎn)弦問題的探討 過拋物線 (p>0)的焦點(diǎn) F 作一條直線 L 和此拋物線相交于 A 、B 兩點(diǎn) px y 2 2 ? ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x結(jié)論 結(jié)論 1： p x x AB ? ? ? 2 1p x x p x p x BF AF AB ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 ) 2 ( ) 2 (結(jié)論 結(jié)論 2：若直線 ：

2、若直線 L 的傾斜角為 的傾斜角為 ，則弦長 ，則弦長 ? ? 2 sin2p AB ?證: (1)若時,直線 L 的斜率不存在，此時 AB 為拋物線的通徑, 2? ? ?結(jié)論得證 ? ? ? p AB 2(2)若 時,設(shè)直線 L 的方程為： 即代入拋物線方程得 2? ? ? ? tan ) 2 ( p x y ? ? 2 cot p y x ? ? ? ?由韋達(dá)定理 0 cot 2 2 2 ? ? ? ? p py y ? ? c

3、ot 2 , 2 122 1 p y y p y y ? ? ? ?由弦長公式得 ? ? ? 222 12sin2 ) cot 1 ( 2 cot 1 p p y y AB ? ? ? ? ? ?結(jié)論 結(jié)論 3： 過焦點(diǎn)的弦中通徑長最小 過焦點(diǎn)的弦中通徑長最小的最小值為 ,即過焦點(diǎn)的弦長中通徑長最短. p p 2 sin2 1 sin 22 ? ? ? ? ? ? ? AB p 2結(jié)論 結(jié)論 4： ) ( 83 2為定值 pABS

4、oAB ??? ?8sin 2 sin sin22 21 sin 21 sin 21sin 21 sin 213 2220PABSp p p AB OF BF AF OFAF OF BF OF S S SOABAF OBF OAB? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?p 21| CD |1| AB |1 ? ?證：過 A 點(diǎn)作 AR 垂直 X 軸于點(diǎn) R，過 B

5、 點(diǎn)作 BS 垂直 X 軸于點(diǎn) S，設(shè)準(zhǔn)線與 軸交點(diǎn)為 E, x? 的傾斜角為 因?yàn)橹本€L則? ? cos 1 cos ? ? ? ? ? ? ? ? P AF AF AF P FR EF ER P AF? cos 1 1 ? ? ?同理可得P BF? cos 1 1 ? ? ? p FB FA2 1 1 ? ?結(jié)論 結(jié)論 11：證:A AB BEAE B A A FA B B BF FABFEAE B AA EF BB11111 11

6、11 1 , // // ? ? ? ? ? ? ? ? EB B EA A EB B 90 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ＝ 相似于 EA A E BB E AA ?PEQ EF BEF AEF 90 EB B BEF EA A AEF 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 平分角 即 ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ?0 K K X BE AE BEAEBFAFBE AE ＝ ＋ 軸對稱 關(guān)于 和直線

7、 直線 ? ? ? ?(4) 90 AEB FB EF AF 2 ? ? ? ? ＝ ＝ ＝ 時， 當(dāng) ? ?2px y 2p - x k y L 22 ? ? ?? ? ?? ? ? 將其代入方程 的方程為 時，設(shè)直線 當(dāng) ? ?? ?k2 k p x x ) y , B(x ), y , A(x 0 4p k 2)x p(k - x k 222 1 2 2 1 12 22 2 2 ? ? ? ? ? ? 則 設(shè) 得x1x2=假設(shè) 4

8、p212 2y 1 K K BE AE2211BE AE ? ????? ? ? p xyp x＝－ 則? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 2p x 2p x - 2p - x k 2p - x k 2p x 2p x - y y 2 1 2 1 2 1 2 1 即? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?22 2

9、 2222222 1 2 1221 2 1 k 2p 0 1 k 4p 1 k x x 2p x x 1 k kk k p ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?結(jié)論得證 假設(shè)錯誤 不可能 ? ? ? ? ? ? 0 2結(jié)論 結(jié)論 12：過拋物線的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦 AB、CD，則推廣與深化： 推廣與深化：深化 深化 1：性質(zhì) 5 中，把弦 AB 過焦點(diǎn)改為 AB 過對稱軸上一點(diǎn) E（a,0） ，則有 pa 2 y y

10、2 1 ? ? ．證：設(shè) AB 方程為 my=x-a，代入 px 2 y 2 ? ．得： 0 ap 2 pmy 2 y 2 ? ? ? ，∴ pa 2 y y 2 1 ? ? ．深化 深化 2： 性質(zhì) 12 中的條件改為焦點(diǎn)弦 AB 不垂直于 x 軸，AB 的中垂線交 x 軸于點(diǎn) R，則AE BEAF AE (1) PEQ (2)(3) K K 0 BF BE(4) AE BE , AE BE 2 2EF? ? ? ?? ?