拋物線經典例題

1、11拋物線習題精選精講拋物線習題精選精講（1）拋物線）拋物線——二次曲線的和諧線二次曲線的和諧線橢圓與雙曲線都有兩種定義方法，可拋物線只有一種：到一個定點和一條定直線的距離相等的所有點的集合.其離心率e=1，這使它既與橢圓、雙曲線相依相伴，又鼎立在圓錐曲線之中.由于這個美好的1，既使它享盡和諧之美，又生出多少華麗的篇章.【例1】P為拋物線上任一點，F(xiàn)為焦點，則以PF為直徑的圓與y軸（）pxy22?相交相切相離位置由P確定.A.B.C.D

2、【解析】如圖，拋物線的焦點為，準線是02pF??????.作PH⊥于H，交y軸于Q，那么，:2plx??lPFPH?且.作MN⊥y軸于N則MN是梯形PQOF的2pQHOF??中位線，.故以??111222MNOFPQPHPF????PF為直徑的圓與y軸相切，選B.【評注】相似的問題對于橢圓和雙曲線來說，其結論則分別是相離或相交的.（2）焦點弦）焦點弦——?？汲Ｐ碌牧咙c弦?？汲Ｐ碌牧咙c弦有關拋物線的試題，許多都與它的焦點弦有關.理解并掌握

3、這個焦點弦的性質，對破解這些試題是大有幫助的.【例2】過拋物線的焦點F作直線交拋物線于兩點，求證：??022?ppxy?????1122AxyBxy（1）（2）12ABxxp???pBFAF211??【證明】（1）如圖設拋物線的準線為，作l，1AAl?111112pABBlBAAx????于，則AF.兩式相加即得：122pBFBBx???12ABxxp???（2）當AB⊥x軸時，有成立；AFBFp??，112AFBFp???當AB與x軸

4、不垂直時，設焦點弦AB的方程為：.代入拋物線方程：2pykx????????.化簡得：2222pkxpx????????????222222014pkxpkxk????XYPHMNO(0)2pF:2plx=22ypx=QXYFA(xy)11B(xy)22A1B1l33【分析】假定這條焦點弦就是拋物線的通徑，那么A1B1=AB=2p，而A1B1與AB的距離為p，可知該圓必過拋物線的焦點.由此我們猜想：一切這樣的圓都過拋物線的焦點.以下我們

5、對AB的一般情形給于證明.【證明】如圖設焦點兩端分別為，????1122AxyBxy那么：22121112.yypCACByyp??????設拋物線的準線交x軸于C，那么.CFp?.2111111.90AFBCFCACBAFB???????中故這就說明：以A1B1為直徑的圓必過該拋物線的焦點.●通法通法特法特法妙法妙法（1）解析法）解析法——為對稱問題解困排難為對稱問題解困排難解析幾何是用代數(shù)的方法去研究幾何，所以它能解決純幾何方法不易

6、解決的幾何問題（如對稱問題等）.【例5】（07.四川文科卷.10題）已知拋物線y=x23上存在關于直線xy=0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于（）A.3B.4C.3D.422【分析】直線AB必與直線xy=0垂直，且線段AB的中點必在直線xy=0上，因得解法如下.【解析】∵點A、B關于直線xy=0對稱，∴設直線AB的方程為：.由yxm????223013yxmxxmyx?????????????設方程（1）之兩根為x1，x2，則.12

7、1xx???設AB的中點為M（x0，y0），則.代入xy=0：y0=.故有.120122xxx????121122M???????從而.直線AB的方程為：.方程（1）成為：.解得：1myx???1yx??220xx???，從而，故得：A（2，1），B（1，2）.，選C.21x??12y??32AB??（2）幾何法）幾何法——為解析法添彩揚威為解析法添彩揚威雖然解析法使幾何學得到長足的發(fā)展，但伴之而來的卻是難以避免的繁雜計算，這又使得許多