拋物線及其性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)大全和經(jīng)典例題及解析

1、 1拋物線及其性質(zhì)【考綱說(shuō)明】 【考綱說(shuō)明】1、掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決與拋物線有關(guān)問(wèn)題。2、通過(guò)類比，找出拋物線與橢圓，雙曲

2、線的性質(zhì)之間的區(qū)別與聯(lián)系。【知識(shí)梳理】 【知識(shí)梳理】1．拋物線定義 拋物線定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn) F 和一條定直線 的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線． l2．拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)： 拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形參數(shù) p 幾何意義 參數(shù) p 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p 越大，開(kāi)口越闊.開(kāi)口方向 右 左 上 下標(biāo)準(zhǔn)方程 2 2 ( 0) y px p ? ?2 2 ( 0) y px p ? ? ?2 2 ( 0) x py p ?

3、 ?2 2 ( 0) x py p ? ? ?焦點(diǎn)位置 X 正 X 負(fù) Y 正 Y 負(fù)焦點(diǎn)坐標(biāo) ( ,0) 2p ( ,0) 2p ? (0, ) 2p (0, ) 2p ?準(zhǔn)線方程2p x ? ? 2p x ? 2p y ? ? 2p y ?范圍 0, x y R ? ? 0, x y R ? ? 0, y x R ? ? 0, y x R ? ?對(duì)稱軸 X 軸 X 軸 Y 軸 Y 軸頂點(diǎn)坐標(biāo) （0,0）離心率 1 e ?通徑 2p焦

4、半徑 1 1 ( , ) A x y 1 2p AF x ? ? 1 2p AF x ? ? ? 1 2p AF y ? ? 1 2p AF y ? ? ?焦點(diǎn)弦長(zhǎng) AB 1 2 ( ) x x p ? ? 1 2 ( ) x x p ? ? ? 1 2 ( ) y y p ? ? 1 2 ( ) y y p ? ? ?焦點(diǎn)弦長(zhǎng) AB 以 為直徑的圓必與準(zhǔn)線 相切 AB l3相交 相切 相離 位置由 P 確定 . A . B . C .

5、 D【解析】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線是 ,0 2p F ? ?? ? ? ?.作 PH⊥ 于 H，交 y 軸于 Q，那么 ， : 2p l x ? ? l PF PH ?且 .作 MN⊥y 軸于 N 則 MN 是梯形 PQOF 的 2p QH OF ? ?中位線， .故以 ? ? 1 1 12 2 2 MN OF PQ PH PF ? ? ? ?PF 為直徑的圓與 y 軸相切，選 B.【評(píng)注】相似的問(wèn)題對(duì)于橢圓和雙曲線來(lái)說(shuō)，其結(jié)論則

6、分別是相離或相交的.（2）焦點(diǎn)弦 ）焦點(diǎn)弦——?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦 ?？汲Ｐ碌牧咙c(diǎn)弦有關(guān)拋物線的試題，許多都與它的焦點(diǎn)弦有關(guān).理解并掌握這個(gè)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，對(duì)破解這些試題是大有幫助的.【例 2】過(guò)拋物線 的焦點(diǎn) F 作直線交拋物線于 兩點(diǎn)，求證： ? ? 0 2 2 ? p px y ? ? ? ? ? 1 1 2 2 , , , A x y B x y（1） （2） 1 2 AB x x p ? ? ? p BF AF2 1 1 ? ?【證

7、明】 （1）如圖設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為 ，作 l， 1 AA l ? 1 1 1 1 1 , 2p A BB l B AA x ? ? ? ? 于，則A F.兩式相加即得： 1 2 2p BF BB x ? ? ?1 2 AB x x p ? ? ?（2）當(dāng) AB⊥x 軸時(shí)，有成立； AF BF p ? ? ， 1 1 2AF BF p ? ? ?當(dāng) AB 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦 AB 的方程為： .代入拋物線方程： 2p y k x