從一道競賽題談無理方程的解答策略

1、例說數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力例說數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力——由兩道無理方程的教學(xué)想到的江蘇省蘇州實驗中學(xué)章祥俊1.提出問題提出問題數(shù)學(xué)，無論在社會建設(shè)和發(fā)展中，還是在人的素質(zhì)培養(yǎng)中都有極其重要的作用，作為基礎(chǔ)教育中教學(xué)時數(shù)最多的學(xué)科之一，又由于學(xué)科本身的特點，在創(chuàng)新能力培養(yǎng)中發(fā)揮著獨特的作用.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，中學(xué)生的創(chuàng)造力既表現(xiàn)為思考數(shù)學(xué)問題時，思路開闊、方法靈活，善于建立不同方法、不同知識點之間的聯(lián)系，也表現(xiàn)為在

2、面臨問題情境時，善于從數(shù)學(xué)的角度觀察問題、分析問題和解決問題.在面臨高考壓力的形勢下，我們主要立足于課堂，讓學(xué)生遇到問題時有足夠的時間和更多的機(jī)會，觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)行充分的思考、探索，運(yùn)用分析、比較、歸納、推理等各種方法，加深對數(shù)學(xué)規(guī)律的理解，提出解決問題的“創(chuàng)新”方案，并通過自身的實踐來解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.2.教學(xué)片斷教學(xué)片斷最近，筆者在教學(xué)中，與學(xué)生共同探討了兩個無理方程的解法，教學(xué)過程起伏跌宕，學(xué)生表現(xiàn)出的想象力

3、、創(chuàng)造力，讓筆者驚喜和慨嘆，同時，也引起了筆者的思考：教學(xué)中，我們是否錯過了一些發(fā)展學(xué)生“創(chuàng)新能力”的機(jī)會？教學(xué)片斷一例1求方程的實數(shù)解.xyxyyx????11師：請大家先猜猜這個方程的根是什么？生1：我看到了是方程的根.2xy??師：還有其它的根嗎？只會猜不行，還得想辦法解這個方程，怎么解呢？課堂安靜了下來，過了大約十分鐘，依然沒有一個學(xué)生給出解答，我只好按照自己的思路，講解事先準(zhǔn)備好的解法.師：我們可將視為“主元”，因此，方程可以

4、配湊為下面的形式：x，(1)(1)110xyyyxyy?????????再將上述方程視為關(guān)于的一元二次方程，有，1x?224(1)0yyy??????即，由于，易證明，(212)(212)0yyyyyy???????1y?3210yy???所以，，即，于是，，從而.210yy?????2110y???110y???2y?進(jìn)一步解得.2x?正當(dāng)我準(zhǔn)備進(jìn)入下面的問題教學(xué)時，有同學(xué)興奮地舉起了手，要求發(fā)言：生2：我有如下解法：顯然，所以方程兩

5、邊同時除以，得.0?xyxy111????xxyy生5：由于方程左邊有兩個無理式，我想到了橢圓方程的化簡方法，移項、兩邊同時平方：，平方整理得：?cos1215??sin3474???，??????????3sin31sin347???再平方整理得，??????????3sincossin322????即，有，?????????????????3cos13cos222????13cos??????????又因為為銳角，所以.?3???師

6、：很好，這是我們解決無理方程的通則通法:化“無理”為“有理”.還有其它方法？是否可以聯(lián)想根式對應(yīng)的幾何意義？生6：??sin347cos1215???=?????cos332233222???????sin3223222????=????????22222sin30cos3sin332cos3??????????設(shè)點，，，則有????sin3cos3，A??032，B??20，C，因為，所以點既在線段上，4??ACAB4?BCABC也在

7、圓上，所以點是與圓的切點，此時，OABCO利用，可得.323OAOB??3???師：漂亮！你是怎么想到的？生6：二次根式最常見的處理辦法有兩種，平方或者配完全平方.我感覺前一種方法比較麻煩，因此試著嘗試后一種，剛開始把第一項改寫為：，被開方式不是完全平方，?????cos332233222????因此沒能配湊成功，后來聯(lián)想到兩點之間距離公式的形式，既然式子中含有，?cos3就應(yīng)該配有，于是就將改寫為，這樣一來，??2cos3???23?