線面垂直習(xí)題精選

1、習(xí)題精選精講線面垂直的證明中的找線技巧?通過(guò)計(jì)算，運(yùn)用勾股定理尋求線線垂直1如圖1，在正方體中，為的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：平面MBD1111ABCDABCD?M1CC1AO?證明：連結(jié)MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，1AM1AA1AAACA??∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥11AACC1AO?11AACC1AO設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，a22132AOa?2234MOa?在Rt△中，∵，∴11ACM22194AMa?22211AOMOA

2、M??1AOOM?∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD1AO評(píng)注：在證明垂直關(guān)系時(shí)，有時(shí)可以利用棱長(zhǎng)、角度大小等數(shù)據(jù)，通過(guò)計(jì)算來(lái)證明?利用面面垂直尋求線面垂直2如圖2，是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC求證：BC⊥P平面PAC證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質(zhì)，得AD⊥平面PBC又∵平面AD?BC?PBC，∴A

3、D⊥BC∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BCBC?∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC（另外還可證BC分別與相交直線AD，AC垂直，從而得到BC⊥平面PAC）評(píng)注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個(gè)平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級(jí)的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級(jí)的垂直關(guān)系，通過(guò)本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直??一般來(lái)說(shuō)，線線垂直或面面垂直都

4、可轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)分析解決，其關(guān)系為：線線垂直線面垂直面面垂直這三????????判定性質(zhì)????????判定性質(zhì)者之間的關(guān)系非常密切，可以互相轉(zhuǎn)化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質(zhì)定理同學(xué)們應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用這些定理證明問(wèn)題下面舉例說(shuō)明3如圖１所示，ABCD為正方形，⊥平面ABCD，過(guò)且垂直于的平面分別交于求證：SAASCSBSCSD平平EFG平平，AESB?AGSD?證明：∵平面ABCD，SA?∴∵，∴平面SAB又∵平

5、面SAB，∴∵平面SABC?ABBC?BC?AE?BCAE?SC?AEFG，∴∴平面SBC∴同理可證SCAE?AE?AESB?AGSD?評(píng)注：本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化4如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ求證：AH⊥平面BCD證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連

6、結(jié)CF，DF∵，∴ACBC?CFAB?∵，∴ADBD?DFAB?又，∴平面CDFCFDFF??AB?∵平面CDF，∴CD?CDAB?又，，CDBE?BEABB??∴平面ABE，CD?CDAH?∵，，，AHCD?AHBE?CDBEE??∴平面BCDAH?習(xí)題精選精講PENDCABM?ENAM?AEMN又平面平面平面?CDADPAACCDPADAEPAD????????????????????CDAECDABAEMNMNAB9如圖在ΔABC

7、中，AD⊥BC，ED=2AE，過(guò)E作FG∥BC，且將ΔAFG沿FG折起，使∠AED=60，求證:AE⊥平面ABC分析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴AE⊥FG∴AE⊥BC設(shè)AE=a，則ED=2a由余弦定理得：AD2=AE2ED22?AE?EDcos60=3a2∴ED2=AD2AE2∴AD⊥AE∴AE⊥平面ABC10如圖在空間四邊形SABC中SA?平面ABC?ABC=90?AN?SB于N

8、AM?SC于M。求證:①AN?BC②SC?平面ANM分析:①要證AN?BC轉(zhuǎn)證BC?平面SAB。②要證SC?平面ANM轉(zhuǎn)證SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線即證SC?AMSC?AN。要證SC?AN轉(zhuǎn)證AN?平面SBC就可以了。證明:①∵SA?平面ABC∴SA?BC又∵BC?AB且ABSA=A?∴BC?平面SAB∵AN平面SAB?∴AN?BC②∵AN?BCAN?SB且SBBC=B?∴AN?平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?SC又∵AM