高考存在性問題的特征分析與考題探求

1、題文科解答題注重對古典概型的考查，也有可能結(jié)合統(tǒng)計的知識，或與其他知識結(jié)合設(shè)計值得注意的是山東省高考試題設(shè)計背景在穩(wěn)定中探求創(chuàng)新性42離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望、方差是理科數(shù)學(xué)高考的一大熱點(diǎn)2009、2010年高考理科試卷中解答題有分布列和數(shù)學(xué)期望相關(guān)問題這類問題往往閱讀量大，思維要求高，計算量大，得分率較低2011年高考山東省理科解答題估計仍然以離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望形式出現(xiàn)43統(tǒng)計試題主要考查抽樣方法，莖葉圖、平均數(shù)、方

2、差、頻率分布表和頻率分布直方圖、正態(tài)分布抽樣方法主要考查分層抽樣，較為簡單頻率分布直方圖、莖葉圖是高考的另一個熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視其他省的高考試題已經(jīng)涉及變量的相關(guān)性、獨(dú)立性檢驗，也應(yīng)重視這一動向44排列組合與二項式定理試題主要考查兩個計數(shù)原理、排列組合的應(yīng)用問題及二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)、項的系數(shù)及二項式系數(shù)的性質(zhì)，一般是一道選擇題或填空題45近幾年理科高考中，對概率統(tǒng)計的考查逐步由注重基礎(chǔ)知識和基本技能轉(zhuǎn)向注重綜合能力，重視在知

3、識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計試題，如與三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、不等式、函數(shù)、方程、定積分等知識的結(jié)合，在此基礎(chǔ)上對分類與整合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考查，明年的高考會繼續(xù)這一特點(diǎn)，加強(qiáng)試題的綜合性，考查綜合能力作者簡介：吳金革，男，山東冠縣人，中學(xué)高級教師，濟(jì)南市教研室數(shù)學(xué)中心組高考試題研究組成員，10年來一直參與濟(jì)南市高考模擬數(shù)學(xué)試題的命題工作，在省級報刊上發(fā)表論文20多篇高考“存在性問題”的特征分析與考題探求浙江省湖州新世紀(jì)外

4、國語學(xué)校蓮花莊校區(qū)313000黃加衛(wèi)眾所周知，數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)對于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力是至關(guān)重要的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實(shí)驗)也指出：數(shù)學(xué)探究是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，內(nèi)容不單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中高中階段至少應(yīng)安排一次較完整的數(shù)學(xué)探究因此在現(xiàn)今的高考試題中，對考生所具備的數(shù)學(xué)探究能力的考查便成了一種常態(tài)而試題中的“存在性問題”恰恰是能夠達(dá)到這種考查目標(biāo)的有效載體下文將對“存在性問題”的有關(guān)特征進(jìn)行闡述，

5、并對2010年高考中的此類問題進(jìn)行統(tǒng)計與例析1“存在性問題”的涵義、分類及其特點(diǎn)一般而言，涉及到某種數(shù)學(xué)對象是否存在的問題，常稱為“存在性問題”存在性問題根據(jù)其問題特征大體可以分為如下三類：(1)證明某種對象一定存在，可以稱為“肯定型問題”；(2)證明某種對象一定不存在，可以稱為“否定型問題”；(3)探究某種對象是否存在，或者探究某類對象存在的條件，可以稱為“探究型存在性問題”而最后這種題型往往是“存在性問題”的主要呈現(xiàn)形式“存在性問題

6、”往往具有以下的幾個特點(diǎn)：(1)開放性對于“探究型存在性問題”，常以適38合某種性質(zhì)的結(jié)論“是否存在”的形式出現(xiàn)，此類題常用“是否存在”、“是否”、“能否”等描述語言，其結(jié)論往往帶有一定的開放性(2)探究性“存在性問題”主要考查學(xué)生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)知識有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決問題，對考生的探究能力提出較高的要求(3)綜合性

7、“存在性問題”由于選擇范圍廣，覆蓋知識面大，具有較強(qiáng)的綜合性，對所使用的解題方法也有較高的要求，并且須有一定的預(yù)見性和靈活性，因此，是訓(xùn)練和考查學(xué)生的思維能力、分析能力和解決問題能力的好題型22010年高考試題中“存在性問題”的統(tǒng)計分析據(jù)筆者統(tǒng)計分析，如表l所示，在2010年的37套高考數(shù)學(xué)試卷中，共有18套試題中含有一道“存在性問題”，除了在上海理科卷中是一道選擇題之外，其它均是解答題，而且分值均在12分以上其中有十道試題承載的主要知

8、識點(diǎn)與餌析幾何部分有關(guān)；五道試題承載的主要知識點(diǎn)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)部分有關(guān)；其它三道試題承載的主要知識點(diǎn)則與數(shù)列、不等萬方數(shù)據(jù)條件相矛盾，故互不相似32幾何類型的“存在性問題”解決的必由之路——數(shù)形結(jié)合，以數(shù)解形無論是具備某些條件的幾何對象的存在性探究，還是幾何對象的代數(shù)條件的存在性探究，它們解決問題的思維入口均為——數(shù)形結(jié)合，以數(shù)解形例2(2010年湖北理科卷)已知一條曲線C在，，軸右邊，c上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1，0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差

9、都是1(I)求曲線C的方程；(Ⅱ)是否存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m，0)且與曲線c有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，都有硝FB‘0)；(Ⅱ)先假定該幾何對象存在，并借助解析幾何的知識將幾何對象代數(shù)化，把幾何對象和部分未知量相聯(lián)系，相應(yīng)的幾何條件轉(zhuǎn)化為與未知量有關(guān)的關(guān)系式，這樣就把幾何對象的存在性判定轉(zhuǎn)化為相關(guān)未知餐的計算經(jīng)過必要的代數(shù)推理和計算，若未知量有解，即可肯定幾何對象存在，反之，則幾何對象不存在‘‘設(shè)過點(diǎn)M(m，0)(m0)的直線z與曲

10、線c的交點(diǎn)為A(戈l，Y。)，B(x2，Y2)設(shè)2的方程為z=tym，由x2tym得)，2—4ty一4m：o，△=16(t2ty‘=4xm)0于是fyY2。4‘①，又贏千(z，一l，tylY2=一4mY1)，F(xiàn)B=(x2一l，托)，F(xiàn)AFB0，于是，假設(shè)戈l，省2是g(z)=0的兩個實(shí)根，且z。菇：則。(1)當(dāng)茗=a或戈：=口時，則戈=a不是以石)的極值點(diǎn)，此時不合題意；(2)當(dāng)菇1≠a且戈2≠a時，由于z=a是八菇)的極大值點(diǎn)，故并1

11、a算2即g(n)0，即口2(3一口b)a26一ab—n0，所以b一a故答案為(一∞，一a)；菇：)l)，。)，：。②，又髫=孚，于是不等式②則‘Ⅱ’由‘1’可知’假設(shè)存在6與和滿足題意’等價于營魚箐≠)，。兒一[()，。y：)2—2ylY2]10③，由①式，不等式③等價于m2’一6m14t2④對任意實(shí)數(shù)t，4t2的最小值為0，所以不等式④對于一切t成立等價于m2—6m10，即3—2√蠆m32厄由此可知，存在正數(shù)m，對于過點(diǎn)M(m，0)且

12、與曲線C有兩個交點(diǎn)A，B的任一直線，696贏贏0，且m的取值范圍是(3—2厄，32厄)。33函數(shù)類型的“存在性問題”解決的重中之重——分類討論(1)當(dāng)z2一口=o一石1時，貝0并4=2x2一口或并4=2xl—d，于是2a=x2xl=口一b一3，即b=一口一3此時扎=2x2一口=口一b一3~／(8b一1)28一口=口2√石或戈4=2髫1一口=口一b一3一砍了再=可—百一o：口一2廂；(2)當(dāng)z2一o≠口一xI時，貝4x2一o=2(口一并1