概率論與數理統計茆詩松第二版課后第六章習題參考答案

1、1第六章第六章參數估計參數估計習題習題6.11設X1X2X3是取自某總體容量為3的樣本，試證下列統計量都是該總體均值的無偏估計，在方差存在時指出哪一個估計的有效性最差？（1）3211613121?XXX=；（2）3212313131?XXX=；（3）3213326161?XXX=證：因===613121)(61)(31)(21)?(3211XEXEXEE，===313131)(31)(31)(31)?(3212XEXEXEE，===32

2、6161)(32)(61)(61)?(3213XEXEXEE，故321???都是總體均值的無偏估計；因2222321136143619141)Var(361)Var(91)Var(41)?Var(σσσσ===XXX，2222321231919191)Var(91)Var(91)Var(91)?Var(σσσσ===XXX，222232132194361361)Var(94)Var(361)Var(361)?Var(σσσσ===XXX

3、，故)?Var()?Var()?Var(312??ΙΓ=yynnYynypλλ，則λλλλλλλ1)1()(e)(e)(110201?=?Γ?Γ=Γ=Γ?=??????=???????∞??∞??∫∫nnnnndyynndyynynYnEXEnnynnynn，故X1不是λ的無偏估計3設θ?是參數θ的無偏估計，且有0)?(Varθ，試證2)?(θ不是θ2的無偏估計證：因θθ=)?(E，有2222)?Var()]?([)?Var(])?[(

4、θθθθθθ==EE，故2)?(θ不是θ2的無偏估計4設總體X~N(σ2)，X1…Xn是來自該總體的一個樣本試確定常數c使∑=?niiiXXc121)(為σ2的無偏估計解：因E[(Xi1?Xi)2]=Var(Xi1?Xi)[E(Xi1?Xi)]2=Var(Xi1)Var(Xi)[E(Xi1)?E(Xi)]2=2σ2，3且)2()1(111121)Cov(2)()1(=??=nnnnnnYYn可得θθ=?=??????21)]()([21

5、)(21)()1()()1(nnYEYEXXE，)2)(1(21)2()1(422)]Cov(2)Var()[Var(41)(21Var2)()1()()1()()1(===??????nnnnnYYYYXXnnn，因θ=)(XE，θ=??????)(21)()1(nXXE，故X及)(21)()1(nXX都是θ的無偏估計；因當n1時，)2)(1(21)(21Var121)Var()()1(=??????=nnXXnXn，故)(21)()

6、1(nXX比樣本均值X更有效6設X1X2X3服從均勻分布U(0θ)，試證)3(34X及4X(1)都是θ的無偏估計量，哪個更有效？解：因總體X的密度函數與分布函數分別為θθΙ=xxp01)(，?????≥≤=.1000)(θθθxxxxxF有X(1)與X(3)的密度函數分別為θθθΙ?=?=xxxpxFxp03221)(3)()](1[3)(，θθΙ==xxxpxFxp032233)()]([3)(，則443223)(3)(0432230

7、32)1(θθθθθθθθ=???????????=??=∫xxxdxxxXE，43433)(043032)3(θθθθθ=?=?=∫xdyxxXE，1054233)(3)(205432303222)1(θθθθθθθθ=???????????=??=∫xxxdxxxXE，53533)(205303222)3(θθθθθ=?=?=∫xdyxxXE，即803410)Var(222)1(θθθ=???????=X，8034353)Var(2