基本不等式課件(共43張ppt)

1、第三章 不等式,§3.4 基本不等式,這是2002年在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車(chē)，代表中國(guó)人民熱情好客。,,,,,,,,a,b,,1、正方形ABCD的　　面積S=＿＿＿＿＿,２、四個(gè)直角三角形的　　面積和S’ =＿＿,３、S與S’有什么　　　　　樣的不等關(guān)系？,探究１：,S____S′,問(wèn)：那么它們有相等的情況嗎？,>,重要不等式

2、： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。,,A,,,,B,C,D,E(FGH),a,b,,思考：你能給出不等式 的證明嗎？,（做差比較法）,重要不等式：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，總有 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立,文字?jǐn)⑹鰹?,兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.,適用范圍：,a,b∈R,問(wèn)題一,即：,通常我們把上式寫(xiě)作：,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取

3、等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.,在數(shù)學(xué)中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；,文字?jǐn)⑹鰹椋簝蓚€(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,適用范圍：,a>0,b>0,你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問(wèn)題二,Rt△ACD∽R(shí)t△DCB，,A,B,C,D,E,a,b,,,O,,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a

4、, BC=b. 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,②如何用a, b表示CD? CD=______,①如何用a, b表示OD? OD=______,,你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問(wèn)題二,CD=______,OD=______,OD_____CD,＞,≥,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點(diǎn)C是AB上一點(diǎn), AC=a, BC=b. 過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,幾何意義

5、：半徑不小于弦長(zhǎng)的一半,A,,D,B,E,O,C,a,b,a=b,a=b,兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍,a,b∈R,a>0,b>0,填表比較：,注意從不同角度認(rèn)識(shí)基本不等式,應(yīng)用舉例,例1.(1) 已知 并指出等號(hào)成立的條件.,(2) 已知

6、 與2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.,(3) 已知 能得到什么結(jié)論? 請(qǐng)說(shuō)明理由.,應(yīng)用一：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系,應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式,小結(jié),基本不等式,1.應(yīng)用基本不等式要注意的問(wèn)題,2.靈活對(duì)公式的正用、逆用、變形用,二定,一正,三相等,§3.4 基本不等式（2）,一、知識(shí)回顧,a＝b,,,2,二、應(yīng)用舉例,應(yīng)用之三、求函數(shù)最值,,(一)

7、從生活中實(shí)例說(shuō)起,引例1 (1)如圖,用籬笆圍成一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？,,A,B,D,C,,若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)xy的值是常數(shù)P時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值_______.,例1 (2)如圖，用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形菜園的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？,,A,B,D,C,,若x、y皆為正數(shù)，則當(dāng)x+y的值

8、是常數(shù)S時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值_______；,,（1）一正：各項(xiàng)均為正數(shù),（2）二定：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。 兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。,（3）三相等：求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“＝”， 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,小結(jié)：利用 求最值時(shí)要注意下面三

9、條：,結(jié)論：已知 都是正數(shù)，（1）如果積 是定值P，那么當(dāng) 時(shí)， 和 有最小值,（2）如果和 是定值S，那么當(dāng) 時(shí)， 積 有最大值,（二）走進(jìn)高考,兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。,學(xué)練考P40例1（1）和變式（2）,,例2： 求函數(shù)

10、 的最小值,變式2：求函數(shù) 的最小值,變式1：求 的最大值。,變式3：若　　 則函數(shù)　　　　　　　的最小值是____。,兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。,§3.4 基本不等式（3）,（一）知識(shí)回顧,a＝b,,,,（1）一正：各項(xiàng)均為正數(shù),（2）二定：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。

11、 兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。,（3）三相等：求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“＝”， 否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤,小結(jié)：利用 求最值時(shí)要注意下面三條：,5：用均值不等式求最值：已知 都是正數(shù)，（1）如果積 是定值P，那么當(dāng) 時(shí)， 和

12、 有最小值,（2）如果和 是定值S，那么當(dāng) 時(shí)， 積 有最大值,（二）活用均值不等式,題型 1 1的代換,例1、已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x+2y=1，（1）求xy的最大值，及取得最大值時(shí)的x，y的值；（2）求 的最小值。,變式1：已知x,y為正實(shí)數(shù)，若 ，則 恒成立的實(shí)數(shù)m取值范圍是

13、 。,變式3：求 的最小值，并 指出取最小值時(shí)x的值。,變式2:已知 ，求 的最小值。,,兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。（巧用常數(shù)來(lái)配湊）,即 x＝12，y＝4 時(shí)取等號(hào).∴當(dāng) x＝12，y＝4 時(shí)，x＋y 有最小值為16.,zxx k,解,題型 2 利用基本不等式整體換元,【例 2】 若正數(shù) a，b 滿(mǎn)足 ab＝a＋b＋3，

14、求 ab 及 a＋b 的,取值范圍.,思維突破：本題主要考查均值不等式在求最值時(shí)的運(yùn)用，,并體現(xiàn)了換元法、構(gòu)造法等重要思想.,zxx k,zxx k,zxx k,整體思想是分析這類(lèi)題目的突破口，即a＋b,與ab 分別是統(tǒng)一的整體，把 a＋b 轉(zhuǎn)換成 ab 或把 ab 轉(zhuǎn)換成a＋b.,zxx k,zxx k,題型3：均值不等式在實(shí)際生活中的應(yīng)用,學(xué)練考P40例2,反思：應(yīng)用題，先弄清題意（審題），建立數(shù)學(xué)模型（列式），再用所掌握的數(shù)

15、學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題（求解），最后要回應(yīng)題意下結(jié)論（作答）。,小結(jié),巔 峰 回 眸 豁 然 開(kāi) 朗,1、注意公式的正用、逆用、變形使用。,2、牢記公式特征“正”、“定”“等”，它在求最值的題型中綻放絢麗的光彩。,我們積累了知識(shí),于枯燥中見(jiàn)奇,于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運(yùn)用公式樂(lè)在成功之中，就能領(lǐng)略到公式平靜的美。,1、設(shè) 且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。,練習(xí)：,3、已知?jiǎng)tx y 的最大值是

16、 。,,課堂小結(jié),本節(jié)課運(yùn)用基本不等式求最值。要注意基本不等式的三個(gè)條件:,（一）不具備“正值”條件時(shí)，需將其轉(zhuǎn)化為正值；,（二）不具備“定值”條件時(shí)，需將其構(gòu)造成定值條件；（構(gòu)造：積為定值或和為定值）,（三）不具備“相等”條件時(shí)，需進(jìn)行適當(dāng)變形或利用函數(shù)單調(diào)性求值域；同時(shí)要靈活運(yùn)用“1”的代換。,①各項(xiàng)皆為正數(shù)；②和或積為定值；③注意等號(hào)成立的條件.,一“正”二“定”三“相等”,利用基本不

17、等式求最值時(shí)，要注意,小結(jié)評(píng)價(jià),你會(huì)了嗎？,1。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了基本不等式的證明與初步應(yīng)用。,,巔 峰 回 眸 豁 然 開(kāi) 朗,2。注意公式的正用、逆用、變形使用。,3。牢記公式特征“正”、“定”、“等”，它在求最值的題型中綻放絢麗的光彩。,4。我們積累了知識(shí),于枯燥中見(jiàn)奇,于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運(yùn)用公式樂(lè)在成功之中，就能領(lǐng)略到公式平靜的美。,復(fù)習(xí)導(dǎo)入,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）,（當(dāng)且僅

18、當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）,（3）利用基本不等式求函數(shù)的最值的條件 ①______②______③_____,,,,4、 利用基本不等式求函數(shù)的最值：（1）已知x，y∈R+，如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，和x+y有最 值是 ；,（2）已知x，y∈R+，如果和x+y是定值S，那么當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，積xy有最 值是

19、 ；,,x=y,小,x=y,大,,正,定,相等,即：積定和最小,即：和定積最大,,,,,,,,,,,,,,),(,.,3,4,,,0,,,0,,,0,,,0,.,2,),(,),,,(,1,.,1,2,2,2,2,2,2,4,4,4,2,c,b,a,abc,c,a,c,b,b,a,c,b,a,ac,ad,bc,bd,bc,ad,d,c,b,a,b,a,y,x,R,y,x,y,b,x,a,b,a,+,+,³,+,+,³