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
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文檔簡(jiǎn)介
1、本論文致力于研究馬氏調(diào)節(jié)的隨機(jī)過程在保險(xiǎn)與金融中的應(yīng)用。本篇論文的結(jié)構(gòu)是按如下章節(jié)安排的。
在第一章中,我們先對(duì)馬氏調(diào)節(jié)模型在保險(xiǎn)與金融歷史背景及研究現(xiàn)狀作了一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧,然后我們?cè)敿?xì)價(jià)紹了本篇論文各章節(jié)的主要內(nèi)容與所得到的主要結(jié)果。
第二章是本篇論文的理論基礎(chǔ)。在這一章中,我們回顧了一些關(guān)于雙鞅(double martingales),連續(xù)時(shí)間馬氏鏈以及馬氏調(diào)節(jié)的Levy過程的基本定義與結(jié)論。在這一章里,
2、我們?cè)贓lliott et al.[51]的框架下引入連續(xù)時(shí)間馬氏鏈并通過標(biāo)值點(diǎn)過程(marked point process)的理論來刻劃馬氏鏈?;隈R氏鏈的標(biāo)值點(diǎn)過程刻劃,我們引入了jth馬氏跳過程鞅1的概念。jth馬氏跳過程鞅的引入可以說是本篇博士論文的一個(gè)重要?jiǎng)?chuàng)新。這個(gè)概念是解決第四章與第五章所考慮的馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)完全化問題的重要理論基礎(chǔ)。同時(shí),由于jth馬氏跳過程鞅的引入,我們可以給出關(guān)于馬氏鏈的函數(shù)的積分表達(dá)式。此外,我們
3、還給出了一個(gè)更加明確的關(guān)于一般馬氏調(diào)節(jié)隨機(jī)過程的Ito公式。該Ito公式在第四章刻劃馬氏調(diào)節(jié)布朗運(yùn)動(dòng)的測(cè)度變化以及隨后幾章中證明隨機(jī)控制問題中的驗(yàn)證定理都起著十分重要的作用。
·馬氏調(diào)節(jié)復(fù)合Poisson風(fēng),險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù).風(fēng)險(xiǎn)理論在Gerber and Skiu[66]于1998年引入Gerber—Skiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)后得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。由于一些基本的精算量,比如,破產(chǎn)時(shí)間,破產(chǎn)前余額
4、,破產(chǎn)赤字都被Gerber—Skiu折現(xiàn)罰金函數(shù)所蘊(yùn)含,因此在破產(chǎn)理論的歷史上有大量的論文都致力于研究各種各樣風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表達(dá)形式。Wang and Wu[163]考慮了常利率下擴(kuò)散干擾的古典風(fēng)險(xiǎn)模型,Zhang et al.[178]研究了具有兩步保費(fèi)率的古典風(fēng)險(xiǎn)模型,Landriaultand Willmot[99],Willmot[165],Willmot and Dickson[166]則考
5、慮了更新風(fēng)險(xiǎn)模型,而Garrido and Morales[631,Morales[122],Morales and Olivares[123]研究了Levy風(fēng)險(xiǎn)模型等等。盡管馬氏調(diào)節(jié)風(fēng)險(xiǎn)模型由Janssen[88]首次引入,隨后又受到了Janssen and Reinhard[89],Reinhard[140],Asmussen[5,7],Bauerle[14],Wu[169],Wu and Wei[167],Ng and Yang[
6、128,129],等眾多學(xué)者了研究,但是Albrecher and Boxma[2]是第一個(gè)研究馬氏相依風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber—Skiu折現(xiàn)罰金函數(shù)。隨后Ng and Yang[129]考慮了馬氏調(diào)節(jié)復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問題,但是,他們只是給出了該模型的Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)在保費(fèi)率為1的情況下所滿足的積分微分方程組,并沒有深入討論積分微分方程組解的情況。受Albrecher
7、 and Boxma[2]和Ng and Yang[129]這兩篇文章的啟發(fā),我們考慮了馬氏調(diào)節(jié)復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber—Skiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問題,并且得到了此模型下Gerbet—Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表現(xiàn)形式,具體結(jié)果參閱本論文的第3章。在我們之后,Lu and Tsai[110]考慮了馬氏調(diào)節(jié)的擴(kuò)散干擾古典風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問題并得到了一些明確結(jié)果。在第3章中,我們充分研究了
8、馬氏調(diào)節(jié)復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber—Shiu期望折現(xiàn)罰金函數(shù)問題。我們首次給出了對(duì)于任意保費(fèi)率Gerber—Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程組。通過Laplace變換的方法,我們得到了關(guān)于Gerber—Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的Laplace變換的明確表達(dá)式。當(dāng)索賠分布為Kn類時(shí),通過引入Dickson and Hipp[40]文中的算子Tr并對(duì)Gerber—Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的Laplace變換作逆變換,我們得到了
9、Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表達(dá)式。最后,我們給出了兩個(gè)具體的數(shù)值例子來更加直觀的說明我們的結(jié)論。
·利用雙鞅理論完全化馬氏調(diào)節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)金融市場(chǎng)的方法.在金融理論的發(fā)展歷史中,金融市場(chǎng)的完全性是一個(gè)十分重要的概念。與不完全金融市場(chǎng)理論相比,完全金融市場(chǎng)理論更加成熟。期權(quán)定價(jià),最大化期望效用的投資等問題在完全化的金融市場(chǎng)里都已得到完全解決,而相應(yīng)問題在非完全市場(chǎng)中仍未完全解決。
在第4章與第5章
10、中,我們以雙鞅理論與標(biāo)值點(diǎn)過程理論作為理論基礎(chǔ)解決了馬氏調(diào)節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)金融市場(chǎng)完全化問題。利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論方法,我們解決了完全化馬氏調(diào)節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)金融市場(chǎng)中的最大化期望效用的投資組合問題。
在第4章中,我們首次明確給出馬氏調(diào)節(jié)布朗運(yùn)動(dòng)在等價(jià)鞅測(cè)度變換下二者參數(shù)之間的關(guān)系式。利用雙鞅表示理論,我們首次通過添加jth馬氏跳資產(chǎn)的方法實(shí)現(xiàn)了馬氏調(diào)節(jié)幾何布朗運(yùn)動(dòng)金融市場(chǎng)的完全化。我們嚴(yán)格證明了添加jth馬氏跳資產(chǎn)后的馬氏調(diào)節(jié)幾
11、何布朗運(yùn)動(dòng)金融市場(chǎng)是完全的。
在第5章中,我們對(duì)第4中的完全化方法作了一個(gè)小的變動(dòng)。在第4章中的完全化方法中,一個(gè)潛在的問題就是:jth馬氏跳資產(chǎn)以一個(gè)正的概率取值為負(fù)。為了將此問題排除在外,我們引入jth馬氏幾何跳資產(chǎn)。我們證明了添加了jth馬氏幾何跳資產(chǎn)后的金融市場(chǎng)是完全的并且是無套利的,其相應(yīng)的唯一等價(jià)鞅測(cè)度也給出了明確的表現(xiàn)形式。
·賣空限制與具有多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的擴(kuò)展馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)下最大化期望效用的再
12、保險(xiǎn)與投資問題.期望效用作為金融保險(xiǎn)中的一個(gè)重要目標(biāo)函數(shù),得到了人們?cè)絹碓蕉嗟年P(guān)注,首次考慮了擴(kuò)散模型下最大化指數(shù)效用的投資策略與最小化破產(chǎn)概率的投資策略之間的關(guān)系。
在第6章中,我們單純考慮了擴(kuò)展馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)中的最大期望效用的投資組合問題。利用直接微分法與動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法,我們解決了擴(kuò)展馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)最大化對(duì)數(shù)與冪函數(shù)效用問題。
相對(duì)于第6章,我們?cè)诘?章中增加了保險(xiǎn)模型并考慮了保險(xiǎn)公司最優(yōu)比例再保險(xiǎn)與擴(kuò)
13、展馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)中的投資問題。與傳統(tǒng)的最優(yōu)比例再保險(xiǎn)與投資問題相比,我們所考慮的問題主要有下面幾個(gè)改進(jìn):首先,我們用馬氏調(diào)節(jié)的擴(kuò)散過程來描述保險(xiǎn)公司的盈余過程;其次,所投資的金融市場(chǎng)是擴(kuò)展馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng),該市場(chǎng)中具有多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn);再者,我們所考慮的投資問題是不準(zhǔn)賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)限制下的投資。我們以最大化指數(shù)效用為目標(biāo),利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原則中的HJB方程得到了在不準(zhǔn)賣空風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)限制下最優(yōu)比例再保險(xiǎn)與投資策略的顯式表達(dá)。我們首先給出最優(yōu)值函數(shù)所
14、滿足的Hamilton-Jacobi—Bellman方程,然后通過一般的分離變量法構(gòu)造出HJB方程的顯式解。最后,通過驗(yàn)證定理,我們得到了我們所構(gòu)造的HJB方程的解的確就是我們所要尋找的最優(yōu)值函數(shù)。
·馬氏調(diào)節(jié)跳擴(kuò)散市場(chǎng)下的均值-方差問題.與期望效用最大化問題相比,均值-方差問題可以讓投資者在自己能夠承受的風(fēng)險(xiǎn)范圍內(nèi)最大化自己的收益,而期望效用問題只是單獨(dú)考慮效用最大化而沒有將效用的風(fēng)險(xiǎn)考慮在內(nèi)。均值一方差問題最初由Mar
15、kowitz[113,114]提出并研究了單期市場(chǎng)的均值-方差問題。經(jīng)過幾十年的發(fā)展,現(xiàn)在均值-方差理論已成為現(xiàn)代金融理論的基礎(chǔ)并啟發(fā)了大量的擴(kuò)展與應(yīng)用。連續(xù)時(shí)間幾何布朗運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)中的均值-方差問題可以說是Markowitz均值方差理論的一個(gè)重要推廣,在過去的十幾年里得到了大量學(xué)者的關(guān)注,然而,馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)中的均值-方差問題卻很少有人研究,這主要是由于馬氏調(diào)節(jié)金融市場(chǎng)中增加了不確定因素-馬氏鏈來描述外界環(huán)境的變化,從而導(dǎo)致了解決此類問
16、題的難度加大。
在第8章中,我們首先給出了馬氏調(diào)節(jié)跳擴(kuò)散市場(chǎng)的概念,然后利用Zhouand Li[181]文中的方法將均值-方差問題轉(zhuǎn)換成為隨機(jī)線性二次規(guī)劃問題。我們討論了馬氏調(diào)節(jié)跳擴(kuò)散市場(chǎng)下均值_方差問題的可行性并給出了均值一方差問題可行性的幾個(gè)等價(jià)條件。通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的HJB方程方法,我們解決了轉(zhuǎn)換后的隨機(jī)線性二次規(guī)劃問題。利用隨機(jī)線性二次規(guī)劃問題與最初的均值-方差問題之間的聯(lián)系,我們得到了均值-方差問題中的有效組合與
17、有效前沿的明確表達(dá)式。我們還研究了最小方差以及與其相應(yīng)的投資組合并得到了明確的結(jié)果。此外,我們還證明了共同基金定理在馬氏調(diào)節(jié)跳擴(kuò)散市場(chǎng)下仍然成立。
·隱馬爾科夫模型中的最優(yōu)再保險(xiǎn)與投資問題.最近,越來越多的學(xué)者開始考慮金融保險(xiǎn)中的隱馬爾科夫模型中投資與再保險(xiǎn)問題,利用鞅方法研究了當(dāng)金融市場(chǎng)中股票回報(bào)率無法觀測(cè)情況下的最優(yōu)投資與消費(fèi)問題并且對(duì)對(duì)數(shù)效用與冪效用得到了顯式表達(dá)。利用同樣的方法解決了股票回報(bào)率為線性擴(kuò)散過程時(shí)相應(yīng)的
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