關(guān)于曲率流的某些問題.pdf

1、本文分成兩章。在第一章中，我們討論了高維帶邊黎曼流形上的Ricci流。在第二章中我們討論了一般黎曼流形中緊致超曲面在平均曲率流下的形變并且對它們的第二類奇點進(jìn)行了分析。 Ricci流的研究始于Hamilton的1982年的文章[Ha1]。在這篇文章Hamilton不僅引入了Ricci流這個概念，并且證明了具有正Ricci曲率的閉3-流形上一定存在著常正曲率度量。接著，在另外一篇非常重要的文章[Ha2]中，Hamilton進(jìn)一步利

2、用Ricci流的方法證明了任何有著正曲率算子的閉4-流形是拓?fù)涞腟4或RP4。對于維數(shù)n≥4的黎曼流形，如果初始的度量的正曲率算子加上足夠強的拼擠條件，也能夠得到類似的結(jié)果，參見[Hu1]，[Ma]和[Ni]。在1995年，Hamilton在文[Ha3]中研究了Ricci流的奇點。完備非緊黎曼流形上Ricci流的研究則是由Shi在[Shi1]，[Shi2]開始的。進(jìn)一步的通過考慮完備黎曼流形上的Ricci流，陳兵龍和朱熹平在文[CZ]中

3、還得到了一個判斷完備流形一定是緊致流形的Bonnet-Myers型定理。最近在[P1]，[P2]中，Perelman利用Ricci流的方法向Poincaré猜想的最后解決又邁進(jìn)了一大步。而帶邊流形上的Ricci流的研究始于Shen[Shen]，在1996年，Shen在[Shen]中考慮帶邊三維流形上的黎曼度量的Ricci形變，證明了如果初始三維流形的黎曼度量具有正Ricci曲率和全測地邊界，則此三維黎曼流形上存在著常正曲率的黎曼度量。

4、 從分析的觀點來看，一個給定閉流形(M，g0)上度量的Ricci形變：{()g/()t=-2Ric,|g(x，0)=g0,是一柯西問題。因此很自然要考慮Ricci流的邊值問題。 假設(shè)Mn是一n維(n≥4)的光滑緊致的黎曼流形。為了方便起見，本文中指標(biāo)范圍約定如下1≤i，j,k…≤n；1≤α，β，γ，…≤n-1.假設(shè)()M≠(0)，令g={gij}是M上的黎曼度量。用Rc={Rij}和R分別表示M的Ricci曲率和數(shù)量曲率。

5、同樣令h={hαβ}為()M的第二基本形式。黎曼曲率張量Rm={Rijkl}可以分解為三個正交部分且每個部分與Rm有相同的對稱性： Rm=W+V+U,(1.1.1)其中W={Wijkl}是Weyl共形曲率張量，V={Vijkl}，U={Uijkl}分別表示無跡的Ricci部分和數(shù)量曲率部分。 定義對于任意常數(shù)λ，若hαβ=λgαβ，(1.1.2)在()M恒成立，則稱()M是全臍的.若常數(shù)λ=0，則稱()M是全測地的。文獻(xiàn)

6、[Shen]證明了如下定理和推論。定理[Shen]對于任意給定的黎曼流形(M，g0)，則方程{()/()tgij=-2Rij,x∈M,gij(x,0)=g0(x),x∈M,hαβ=λgαβ,x∈()M,(1.1.3)存在短時間解。推論[Shen]假設(shè)(M，g)是一具有正Ricci曲率和全測地邊界的緊致三維黎曼流形，則(M，g)通過Ricci流可以形變?yōu)?M，g∞)使得(M，g∞)具有常正曲率和全測地邊界。本文用Ricci流的方法研究n維