哈密頓系統(tǒng)有限元方法的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)研究——馮康猜想的證明.pdf

1、分類號(hào)024182丐：學(xué)校代碼10542學(xué)號(hào)至QQ魚(yú)!!Q!!QQ魚(yú)哈密頓系統(tǒng)有限元方法的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)研究一一馮康猜想的證明TheLongtimePropertiesofFiniteElementMethodforHamiltonianSystem一theProofofFengKangConjecture研究生姓名：胡妹芳指導(dǎo)教師姓名、職稱：陳傳淼教授學(xué)科專業(yè)：計(jì)算數(shù)學(xué)研究方向：微分方程數(shù)值解湖南師范大學(xué)學(xué)位評(píng)定委員會(huì)辦公室二零一二年三月

2、摘要哈密頓系統(tǒng)是最重要的動(dòng)力系統(tǒng)之一，它有兩個(gè)重要的性質(zhì)：辛結(jié)構(gòu)和能量守恒此外，在一定條件下還具有周期性優(yōu)秀的算法應(yīng)當(dāng)盡可能的保持系統(tǒng)原有的性質(zhì)本文將保能量的連續(xù)有限元法用于求解哈密頓系統(tǒng)，并研究它的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)主要結(jié)果及創(chuàng)新點(diǎn)如下本文綜合考察了辛算法和有限元方法的長(zhǎng)時(shí)間性質(zhì)通過(guò)分析大量的數(shù)值結(jié)果提出了關(guān)于軌道，能量：辛的三大猜想首次證明哈密頓系統(tǒng)有限元法的軌道誤差隨時(shí)間線性增長(zhǎng)(馮康猜想)，這一結(jié)果長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)有效證明分成以下幾個(gè)部分：(a

3、)首先證明了有限元法軌道偏離的短時(shí)間收斂及超收斂結(jié)果(b)在兩個(gè)基本假定條件下：證明了三個(gè)重要的一致性估計(jì)(c)利用短時(shí)間結(jié)果：三個(gè)一致性估計(jì)以及有限元法嚴(yán)格保能量的性質(zhì)，證明了有限元法馮康猜想長(zhǎng)時(shí)間成立首次發(fā)現(xiàn)并證明了一類隱式Runge—Kutta法(RK)與CFE的等價(jià)性關(guān)系研究表明：一類m級(jí)RE法等價(jià)于基于相應(yīng)的122點(diǎn)求積公式的i11次CFE以一組重要的等價(jià)算法為例，m級(jí)Gauss型RK法等價(jià)于基于m點(diǎn)Gauss求積公式的m次有

4、限元法，且它們是辛算法我們重點(diǎn)考察軌道誤差的增長(zhǎng)方式，將軌道誤差隨時(shí)間線性增長(zhǎng)的算法定義為哈密頓系統(tǒng)的正規(guī)類算法數(shù)值結(jié)果表明，除了辛算法和保能量算法，還有梯形公式，Simpson格式，LobattoIlIA法，平均間斷有限元法(ADFE)等都屬于正規(guī)類正規(guī)類算法都能保證馮康猜想成立，有效擴(kuò)充了哈密頓系統(tǒng)算法的研究類利用誤差漸進(jìn)展開(kāi)及外推技巧，提出了時(shí)空哈密頓系統(tǒng)的快速推進(jìn)算法其主要思想是，計(jì)算第J1層解時(shí)，首先利用前幾層的解和外推公式給