某些延遲微分方程數(shù)值方法的分支相容性.pdf

1、近幾十年來(lái)，延遲微分方程已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用到近代物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)、化學(xué)反應(yīng)工程學(xué)、自動(dòng)控制理論等眾多科學(xué)領(lǐng)域。對(duì)這類方程，由于只有少數(shù)特殊的方程可以顯式求解，因此發(fā)展適用的數(shù)值方法是必要的。然而，能夠正確反映原系統(tǒng)性質(zhì)的數(shù)值方法才具有應(yīng)用價(jià)值，所以研究數(shù)值方法能否保持原系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為在理論上和應(yīng)用上都具有十分重要的意義。
　　本論文分別對(duì)幾類延遲微分方程，研究了某些數(shù)值方法的分支相容性，即方法能否保持原方程分支

2、的性質(zhì)。
　　首先，本文應(yīng)用差分方法求解一類具有負(fù)反饋的二階延遲微分方程，并研究了其數(shù)值離散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。通過(guò)分析隨著參數(shù)的變化，特征根的變化情況，再應(yīng)用Neimark-Sacker分支定理，本文給出了Neimark-Sacker分支存在的充分條件。利用規(guī)范形理論和中心流形定理，我們計(jì)算了確定分支方向及閉的不變曲線穩(wěn)定性的顯式公式。通過(guò)比較數(shù)值離散系統(tǒng)和原系統(tǒng)的分支性質(zhì)，結(jié)果說(shuō)明了差分方法關(guān)于這類二階延遲微分方程是分支相容的。

3、
　　其次，針對(duì)M.C. Mackey和L. Glass提出的用于描述血循環(huán)中粒細(xì)胞密度的延遲微分方程，本文考慮了非標(biāo)準(zhǔn)有限差分方法的分支相容性。應(yīng)用上面類似的方法，我們分析了其數(shù)值離散系統(tǒng)正不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性，給出了Neimark-Sacker分支存在的充分條件，得到了判斷分支方向和閉的不變曲線穩(wěn)定性的顯式表達(dá)式。
　　再次，本文應(yīng)用中點(diǎn)公式求解一個(gè)描述動(dòng)脈中二氧化碳濃度的延遲微分系統(tǒng)。我們分析了得到的數(shù)值離散系統(tǒng)正不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)

4、定性，給出了它經(jīng)歷Neimark-Sacker分支的條件，計(jì)算了確定分支方向和閉的不變曲線穩(wěn)定性的顯式表達(dá)式。得到的結(jié)論與原系統(tǒng)的分支性質(zhì)比較表明，對(duì)于此方程中點(diǎn)公式是分支相容的。
　　最后，本文研究了一類Runge-Kutta方法對(duì)于一類具有一般形式的延遲微分方程的分支相容性。應(yīng)用隱函數(shù)定理，我們證明了如果原方程具有Hopf分支，那么這類Runge-Kutta方法對(duì)于該方程是分支相容的，并且如果方法是p階的，那么Neimark-