高階邊值問題解的存在性與多重性.pdf

1、本文主要研究高階微分方程邊值問題解的存在性與多重性.論文分三章對一類非線性四階雙參數(shù)及四階奇異邊值問題進(jìn)行了討論.在第一章中，我們主要利用強(qiáng)單調(diào)映象原理和臨界點理論研究算子方程解的存在性與多重性，然后把算子方程的抽象結(jié)果應(yīng)用到非線性四階雙參數(shù)兩點邊值問題中.我們對非線性項f進(jìn)行一些適當(dāng)?shù)南拗?，得到了邊值問題解的存在性，唯一性以及多解性.這部分內(nèi)容已經(jīng)被SCI收錄的核心雜志《J.Math.Anal.Appl.》接收，見[17].在第二章中

2、，我們利用算子方程的抽象結(jié)果來研究一類四階奇異邊值問題.在非線性項f滿足適當(dāng)?shù)臈l件時，我們得到問題至少有兩個正解，一個正解，沒有正解的結(jié)論.這部分內(nèi)容已發(fā)表在《山西大學(xué)學(xué)報》，見[24].在第三章中，我們首先利用拓?fù)涠壤碚摷安粍狱c指數(shù)理論研究非線性算子方程的變號解的存在性，然后把這些抽象結(jié)果應(yīng)用到四階雙參數(shù)邊值問題中，所研究的方程與第一章相同.在這一章中，我們利用拓?fù)涠壤碚撆c不動點指數(shù)理論得到算子方程變號解的存在性，并且推廣了著名的Am

3、ann三解定理.這部分內(nèi)容已經(jīng)被SCI收錄的核心雜志《J.Math.Anal.Appl.》接收，見[18]. 下面，我們對本文的主要結(jié)果加以具體闡述. 在第一章中，我們主要討論以下四階雙參數(shù)邊值問題(BVP)：{u(4)(t)+βu"(t)-αu(t)=f(t，u(t))，t∈[0，1]，u(0)=u(1)=0，(1.1.1)u"(0)=u"(1)=0解的存在性、唯一性及多解性，其中f：[0，1]×R1→R1連續(xù)，α，β

4、∈R1且滿足β＜2π2，β2+4α≥0，α/π4+β/π2＜1. 主要結(jié)論如下：定理1.4.1.設(shè)對每一個t∈[0，1]，f(t，u)關(guān)于u是減函數(shù)，即f(t，u1)≥f(t，u2)，u1，u2∈R1且u1＜u2.則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中有唯一解. 定理1.4.2.若存在a∈[0，π4-βπ2-α)使得[f(t，u)-f(t，v)][u-v]≤a|u-v|2，t∈[0，1]，u，v∈R1，則BVP(1.1

5、.1)在C4[0，1]中有唯一解. 定理1.4.3.設(shè)∫u0f(t，v)dv≤a/2u2+b(t)|u|2-γ+c(t)，t∈[0，1]，u∈R1，其中a∈[0，π4-βπ2-α)，γ∈(0，2)，b∈L2/γ[0，1]，且c∈L[0，1].則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一個解. 定理1.4.4.設(shè)(B1)存在μ∈(0，1/2)及R＞0使得F(t，u)(△=)∫u0f(t，v)dv≤μuf(t，u)，t∈

6、[0，1]且|u|≥R；(B2)limsupu→0f(t，u)/u＜π4-βπ2-α和liminfu→+∞f(t，u)/u＞π4-βπ2-α對t∈[0，1]一致成立.則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一個非零解. 定理1.4.5.設(shè)f(t，u)關(guān)于u是奇函數(shù)，即f(t，-u)=-f(t，u)，t∈[0，1]，u∈R1.進(jìn)一步假設(shè)定理1.4.4中條件(B1)成立以及l(fā)imsupu→0f(t，u)/u＜π4-βπ2-α和

7、limu→+∞f(t，u)/u=+∞對t∈[0，1]一致成立.則BVP(1.1.1)有無窮多個解. 定理1.4.6.設(shè)條件(B1)成立，且(B3)limsupu→0f(t，u)/u＜(n+1)4π4-β(n+1)2π2-α對t∈[0，1]一致成立； (B4)F(t，u)≥2-1(n4π4-βn2π2-α)u2，(t，u)∈[0，1]×R1.則BVP(1.1.1)在C4[0，1]中至少有一個非零解. 在第二章中，我

8、們主要討論以下四階奇異邊值問題(BVP)：{u(4)(t)=λp(t)f(u(t)),t∈(0，1)，u(0)=u(1)=0，(2.1.1)u"(0)=u"(1)=0，其中λ是一個正參數(shù)，p∈C((0，1)，(0，+∞))且在t=0，1點奇異，f∈C(R+，R+)，R+=[0，+∞).首先作下列基本假設(shè)：(H4)f∈C(R+，R+)在R+上遞增，p∈C((0，1)，(0，∞))且在0，1點奇異，且∫10s(1-s)p(s)ds＜+∞.(

9、H5)f(0)＞0，limx→+∞f(x)/x=+∞.(H6)limx→0+f(x)/x=+∞且存在μ＞0使得f(x)≥μx，x∈R+. 主要結(jié)論如下：定理2.2.1.設(shè)(H4)和(H5)成立.則存在λ*＞0使得BVP(2.1.1)對所有λ∈(0，λ*)至少有兩個正解，對λ=λ*至少有一個正解，對λ＞λ*沒有正解. 定理2.2.2.設(shè)(H4)和(H6)成立.則存在λ*＞0使得BVP(2.1.1)對所有λ∈(0，λ*)至少

10、有一個正解，對λ＞λ*沒有正解. 在第三章中，我們?nèi)匀挥懻揃VP(1.1.1)，給出下列條件：(D1)f：[0，1]×R1→R1連續(xù)且在[0，1]上f(·，0)=0以及f(·，s)s≥0，s∈R1； (D2)α，β∈R1滿足β＜2π2，α≥-β2/4，及α/π4+β/π2＜1.我們得到BVP(1.1.1)變號解的存在性，主要結(jié)論如下： 定理3.4.2.設(shè)條件(D1)，(D2)成立，且假設(shè)(D3)limu→0f(t