P-Laplace方程正解的性態(tài)研究.pdf

1、本文主要研究含P-Laplace算子的方程。我們知道P-Laplace算子的作用十分廣泛，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)理論中，還出現(xiàn)在流體動力學(xué)(包括牛頓流體(p=2)、膨脹流體(p≥2)和擬塑性流體(1＜p＜2))，穿過多孔介質(zhì)的流體(p=3/2)、非線性彈性學(xué)(p≥2)和冰川學(xué)(p∈(1，4/3)等應(yīng)用領(lǐng)域里。因此研究P-Laplace算子不僅在數(shù)學(xué)理論上有重大的理論價(jià)值(如對P-Laplace算子的研究有助于我們理解褪化橢圓算子)，還因其深厚

2、的物理背景而具有廣泛的應(yīng)用前景。本文主要討論了含P-Laplace算子的方程解的性態(tài)。全文共分六章，具體內(nèi)容如下：
　　 第1章是前言。介紹了P-Laplace算子的物理背景、本文所研究問題的歷史、現(xiàn)狀和本文的結(jié)論及證明思想。順便還介紹了本文的創(chuàng)新之處和所克服的困難。
　　 第2章是預(yù)備知識。介紹了本文要用到的數(shù)學(xué)術(shù)語、數(shù)學(xué)工具和技巧。
　　 第3章研究如下橢圓方程的邊值問題。(公式略)其中0＜q＜p-1，Ω是R

3、n中的有界區(qū)域，△p是p-LapLace算子，它作用在函數(shù)u上時(shí)定義為△pu=div(|▽u|p-2▽u).設(shè)u(x)是問題(1)的解，其對應(yīng)的能量泛函記為E(Ω)=∫Ω|▽u|pdx.本章的結(jié)果是如下的Brunn-Minkowski不等式。
　　 定理3.1.設(shè)Ω0和Ω1是凸區(qū)域。若令α=n+p(q+1)/p-1-q，則對任意的t∈[0，1]有(公式略)且等式成立當(dāng)且僅當(dāng)Ω0與Ω1位似。
　　 第4章討論與問題(1)的

4、解U(x)相關(guān)的一些等周不等式以及先驗(yàn)估計(jì)。設(shè)Ω*是Ω的Schwarz對稱重排，即Ω*是Rn中以原點(diǎn)0為中心且滿足|Ω*|=|Ω|的球。若用h(x)表示如下問題的解(公式略)則本章的主要結(jié)論可敘述為：
　　 定理4.2.1.1.若u(x)是問題(1)的解，則對于任意的k≥q+1有(公式略)以及(公式略)并且上面兩式中的等號成立當(dāng)且僅當(dāng)Ω是一個(gè)球。
　　 應(yīng)用上述等周不等式，可得到問題(1)的解u(x)的最佳上界估計(jì)，該結(jié)

5、論可表述為：
　　 定理4.2.1.3.設(shè)u(x)為問題(1)的唯一解.則(公式略)且等號僅在Ω為球時(shí)才可能成立。
　　 另外，在p=n且q=p-1時(shí)，本章還給出了一個(gè)已知的等周不等式的簡化證明.詳情參見本章第三節(jié)。
　　 第5章討論如下問題第一特征值的下界估計(jì).(公式略)其中c(x)是一個(gè)非負(fù)有界函數(shù)。
　　 設(shè)Ω*是Ω的Schwaxz對稱重排，R*是Ω*的半徑，ωn是Rn中單位球的體積。令α=ess.

6、supx∈Ωc(x)，選取r滿足αωn(Rn*-rn)=∫Ωc(x)dx.定義函數(shù)h(x)為(公式略)。
　　 本章的結(jié)論可表述為如下定理：
　　 定理5.1.λ1(Ω；c)≥λ1(Ω*；h)，其中λ1(Ω；c)表示問題(2)相應(yīng)于Ω和c(x)的第一特征值，而λ1(Ω*；h)表示問題(2)相應(yīng)于Ω*和h(x)的第一特征值。
　　 這一結(jié)果可以作適當(dāng)?shù)耐茝V，詳情見本章的具體內(nèi)容。
　　 第6章考慮拋物P-L