稀疏恢復(fù)問(wèn)題中精確恢復(fù)條件的研究.pdf

1、壓縮感知作為Rn空間上的稀疏優(yōu)化問(wèn)題,旨在從被噪聲污染或部分丟失的觀測(cè)數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始數(shù)據(jù),在信號(hào)處理、圖像去噪、醫(yī)學(xué)成像等方面有著廣泛的應(yīng)用.近幾年,壓縮傳感已經(jīng)得到了深入的研究和快速的發(fā)展.隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展,需要存儲(chǔ)、處理與分析的數(shù)據(jù)常常規(guī)模大、維度高、結(jié)構(gòu)復(fù)雜,如人臉圖像、監(jiān)控視頻、生物信息數(shù)據(jù)等.因此,本文著眼于壓縮感知應(yīng)用到復(fù)雜高維數(shù)據(jù)上而形成的稀疏優(yōu)化問(wèn)題,包括含有線性等式與不等式約束的稀疏解問(wèn)題、低秩矩陣恢復(fù)問(wèn)題、低秩

2、張量恢復(fù)問(wèn)題,使用壓縮感知中的松弛逼近方法,解決NP-難的原問(wèn)題.目前對(duì)于松弛問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)已經(jīng)得到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,但關(guān)于保證精確恢復(fù)的條件還沒(méi)有很多的研究.本文對(duì)延伸的稀疏優(yōu)化問(wèn)題的精確恢復(fù)條件進(jìn)行了系統(tǒng)的研究,并取得了如下成果：
　　1.考慮絕對(duì)值方程組稀疏解的精確恢復(fù)條件,采用絕對(duì)值方程組與雙線性規(guī)劃的等價(jià)變形,在某種特殊情形下,求解絕對(duì)值方程組稀疏解的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為含有線性等式與不等式約束的l0極小化問(wèn)題.基于值域空間

3、性質(zhì)的分析,得到了該問(wèn)題凸松弛的最優(yōu)解存在唯一的條件,隨后又證明了在此條件下,原問(wèn)題與其凸松弛等價(jià).根據(jù)這一研究方法與結(jié)果的啟示,我們又圍繞含有一般等式與不等式的線性約束的稀疏優(yōu)化問(wèn)題,討論了這一問(wèn)題的精確恢復(fù)條件,并通過(guò)一些例子驗(yàn)證了這一理論結(jié)果的正確性.
　　2.討論低秩矩陣恢復(fù)問(wèn)題通過(guò)非凸的Schatten-p擬范數(shù)極小化問(wèn)題精確恢復(fù)的條件,給出了保證成功恢復(fù)的一個(gè)p-RIP條件,并且證明了多少數(shù)目的觀測(cè)值可以使得p-RIP

4、條件以極高的概率被遇到.
　　3.圍繞低秩張量恢復(fù)問(wèn)題,將低秩矩陣恢復(fù)問(wèn)題中的三類精確恢復(fù)條件推廣到張量空間中.之后,我們考慮一種同時(shí)包含無(wú)噪聲和有噪聲的低秩張量恢復(fù)模型,稱為最小n-秩逼近,提出了求解該問(wèn)題的一種迭代硬閾值算法,并且證明了該算法對(duì)于無(wú)噪聲的情形在某些條件下以1/2的速率全局線性收斂,而對(duì)有噪聲的情形迭代序列和真實(shí)值的距離是快速下降的.數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這一理論結(jié)果,并且表明該算法對(duì)于求解低n-秩張量填充問(wèn)題快速、有效