TSVD方法在數(shù)值微分及圖像恢復(fù)問題中的應(yīng)用.pdf

1、反問題是目前具有交叉性的計算數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)中的研究熱點問題，在各種領(lǐng)域中都有深刻的應(yīng)用背景。反問題通常是不適定的，反問題求解的本質(zhì)性困難是解的不穩(wěn)定性，即方程的解(如果存在)不連續(xù)依賴于右端的數(shù)據(jù)，當右端的數(shù)據(jù)有誤差時，其解與真解之間會產(chǎn)生很大的誤差，此時必須采用特殊的求解方法才能得到合理的結(jié)果。當前，求解不適定問題最常見有效的方法是正則化方法，建立有效的正則化方法，正則參數(shù)的選取以及算法實現(xiàn)是反問題研究的三大核心問題。

2、 本文首先從一些實例出發(fā)，介紹了反問題和不適定問題的基本概念，并討論了方程的Moore-Penrose廣義解和Moore-Penrose廣義逆，以線性自伴緊算子的譜分析與緊算子奇異值分解為理論基礎(chǔ)，利用奇異系給出了解的表達式，得出了線性緊算子方程的不適定性，即Moore-Penrose廣義解的不穩(wěn)定性的結(jié)論，說明了緊算子方程解不穩(wěn)定的根源在于緊算子的奇異值趨于零的性質(zhì)。由此通過引入正則化濾子函數(shù)來減弱或濾掉奇異值趨于零的性質(zhì)對解的穩(wěn)定

3、性的影響，構(gòu)造正則算子，從而提供了建立正則化方法的理論依據(jù)。 反問題的數(shù)值計算通常需要將問題離散化，此時TSVD(譜截斷)正則化方法是十分簡單有效的正則化方法。文中詳細討論了TSVD正則解的誤差估計與正則參數(shù)的選取問題，通過正則參數(shù)的先驗和后驗選取，證明了TSVD正則解的誤差具有漸進最優(yōu)階。作為TSVD(譜截斷)正則化方法的應(yīng)用，文中研究了兩個不同領(lǐng)域中典型的不適定問題：數(shù)值微分問題和圖像復(fù)原問題。 數(shù)值微分問題是不適定

4、的，為了得到近似已知函數(shù)穩(wěn)定的近似導(dǎo)數(shù)，并且能夠很好地反映導(dǎo)數(shù)的間斷情況，本文討論了pp-TSVD方法，其正則解可以在沒有任何先驗信息的情況下反映解的間斷性，我們將這種方法應(yīng)用于數(shù)值微分問題，數(shù)值實驗說明這種方法對反映導(dǎo)數(shù)的間斷情況十分有效。 本文還研究了在Neumann邊界條件假設(shè)下，具有對稱及平移不變性的點擴散函數(shù)的數(shù)字圖像復(fù)原問題。文中將此類圖像復(fù)原問題轉(zhuǎn)化為不適定的解卷問題，并分析了離散卷積算子的性質(zhì)，進而將TSVD方法