Obrechkoff方法在求解常微分方程振蕩、剛性問(wèn)題中的應(yīng)用研究.pdf

1、由于常微分方程本身的重要性以及在不同領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，貫穿整個(gè)20世紀(jì)，常微分方程的數(shù)值求解研究得到了巨大的發(fā)展。特別是，隨著計(jì)算機(jī)性能的快速提高，一些著名數(shù)學(xué)軟件的不斷深化發(fā)展，更多的新思想得以實(shí)現(xiàn)，更多的復(fù)雜方法涌現(xiàn)出來(lái)，常微分方程數(shù)值求解以及數(shù)值方法發(fā)展研究的領(lǐng)域有不斷深化擴(kuò)大的趨勢(shì)。計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算功能對(duì)物理學(xué)中常微分方程研究的用途不僅僅是可以得到數(shù)值結(jié)果，更為重要的是，它為物理學(xué)家提供了“計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)”這個(gè)新的研究手段。有了計(jì)

2、算機(jī)數(shù)值計(jì)算這個(gè)強(qiáng)有力的工具，我們將目光投向物理領(lǐng)域中一些較為復(fù)雜的常微分方程(非線性Duffing方程，周期性振蕩方程以及剛性方程)的數(shù)值求解與相應(yīng)數(shù)值方法的研究。在物理領(lǐng)域中，常?？梢杂龅揭恍?yīng)用很是廣泛的常微分方程，例如薛定鍔方程、非線性Duffing方程、天體軌道方程以及剛性方程等。這些方程多為一階或二階的常微分方程，形式簡(jiǎn)單，卻很少能得到解析解。即使數(shù)值求解也往往存在著求解精度不高或因方程本身性質(zhì)特殊造成數(shù)值方法求解結(jié)果不盡理

3、想。在這些問(wèn)題中具有代表性的有兩類問(wèn)題：周期性振蕩問(wèn)題與剛性問(wèn)題。在本論文中，我們主要集中于這兩類問(wèn)題相應(yīng)的數(shù)值方法研究做出探討。對(duì)于周期性振蕩問(wèn)題，我們主要關(guān)注二階常微分方程y"(x)+ω2y(x)=f(x，y)，y'(0)=y'0，y(0)=y0這類方程的近似解析解中常包含cos(ωx)、sin(ωx)或eiωx等周期性函數(shù)。鑒于其周期振蕩性質(zhì)，往往造成數(shù)值方法求解困難，結(jié)果出現(xiàn)不穩(wěn)定，甚至發(fā)散。我們研究發(fā)現(xiàn)對(duì)于具有周期振蕩性質(zhì)的問(wèn)

4、題必須有匹配的數(shù)值方法，即數(shù)值方法也需具有周期振蕩性質(zhì)。否則即使原本精度很高的方法，如果與所求解問(wèn)題的性質(zhì)不匹配，數(shù)值求解的結(jié)果也往往是不理想，甚至得到發(fā)散的結(jié)果。反之，如果數(shù)值方法與問(wèn)題匹配但精度不夠，同樣也不能得到滿意的結(jié)果。為此，我們從兩方面出發(fā)研究針對(duì)周期性振蕩問(wèn)題的數(shù)值方法。第一個(gè)方面，利用高階微商構(gòu)建特殊結(jié)構(gòu)線性四步高精度數(shù)值方法。由于受到計(jì)算機(jī)發(fā)展的限制，早期高階微商的計(jì)算往往過(guò)于復(fù)雜而少有在多步方法上應(yīng)用。我們?cè)谶@里做出

5、突破，將高階微商與多步方法結(jié)合；同時(shí)結(jié)構(gòu)特殊兼有顯式與隱式特點(diǎn)，在得到高精度方法的同時(shí)又避免了過(guò)于繁瑣的計(jì)算工作量。 第二個(gè)方面，為了使線性四步方法與周期性振蕩問(wèn)題性質(zhì)匹配。我們從針對(duì)周期振蕩問(wèn)題的P穩(wěn)定理論出發(fā)，突破P穩(wěn)定理論對(duì)線性多步方法的步數(shù)限制(兩步)，發(fā)展了具有較大穩(wěn)定區(qū)域的參數(shù)調(diào)控的四步Obrechkoff方法，并進(jìn)一步發(fā)展了完全穩(wěn)定的P穩(wěn)定四步Obrechkoff方法。 這兩種方法突破了線性多步方法在與周期

6、性振蕩問(wèn)題穩(wěn)定匹配方面局限，而且結(jié)構(gòu)上也異于傳統(tǒng)上對(duì)數(shù)值方法顯式與隱式的判斷，從數(shù)值方法層面做出了突破。 對(duì)于剛性問(wèn)題，我們主要討論解析解中含有多個(gè)指數(shù)形式(e-αx，e-βx，α，β為正實(shí)數(shù))的常微分方程。 y'(x)=f(x，y)，y'(0)=y0，y(0)=y0由于不同指數(shù)部分衰減速度有很大差異，造成傳統(tǒng)Taylor級(jí)數(shù)方法求解步長(zhǎng)限制很大，效率極為低下。與周期振蕩問(wèn)題相似，對(duì)于剛性問(wèn)題存在絕對(duì)穩(wěn)定(A穩(wěn)定)的理論