利用最優(yōu)化方法確定二階拋物型方程的低階項(xiàng)系數(shù).pdf

1、偏微分方程反問(wèn)題是一個(gè)新興的研究領(lǐng)域。通常正問(wèn)題研究由給定的方程和相應(yīng)的初邊值條件來(lái)求方程的解。與正問(wèn)題不同,反問(wèn)題研究由解的部分已知信息來(lái)求定解問(wèn)題中的某些未知量,如方程中的系數(shù),定解問(wèn)題的區(qū)域或是某些定解條件。反問(wèn)題大都具有不適定的特點(diǎn),該特點(diǎn)也是反問(wèn)題研究的難點(diǎn)所在。一個(gè)問(wèn)題如果其解存在,唯一并且連續(xù)依賴(lài)于輸入數(shù)據(jù),就稱(chēng)該問(wèn)題是適定的,否則稱(chēng)為不適定。由于定解數(shù)據(jù)常為試驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù),難免有誤差,故而當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不適定時(shí),定解數(shù)據(jù)的微小

2、變化將會(huì)導(dǎo)致問(wèn)題解的巨大變化,此時(shí)得到的解將毫無(wú)意義。因此解決反問(wèn)題的關(guān)鍵在于尋找問(wèn)題的適定性條件,使得原問(wèn)題在新的條件下是適定的。
　　本文研究在已知一個(gè)二階拋物型方程的終端值的情況下,反求其低階項(xiàng)系數(shù)q的反問(wèn)題。這種類(lèi)型的反問(wèn)題在諸如金融,物理等許多應(yīng)用科學(xué)領(lǐng)域具有重要意義。根據(jù)未知系數(shù)q的維數(shù)不同,有兩類(lèi)不同的問(wèn)題分別記為問(wèn)題P l和P2。問(wèn)題P l中的未知系數(shù)q僅與空間變量T相關(guān),而與時(shí)間變量t無(wú)關(guān),即 g= q(x)。問(wèn)

3、題P2中的未知系數(shù)q不僅與空間變量T相關(guān),而且與時(shí)間變量t也相關(guān),即 q= q(x,t)。問(wèn)題P2通常稱(chēng)為發(fā)展型的反問(wèn)題。本文利用最優(yōu)化方法對(duì)兩類(lèi)問(wèn)題都作了深入分析。
　　全文共分為三個(gè)部分。
　　第一章對(duì)問(wèn)題PI, P2及其相關(guān)的研究背景作了簡(jiǎn)要介紹。
　　第二章主要從理論分析角度討論問(wèn)題P1?！?.1分析了問(wèn)題P l的強(qiáng)不適定性?！?.2將問(wèn)題Pl化為一個(gè)最優(yōu)控制問(wèn)題,并構(gòu)造了控制泛函?！?.3討論了控制問(wèn)題及其道

4、近問(wèn)題極小元的存在性?！?.4則給出了控制問(wèn)題及其道近問(wèn)題極小元所滿(mǎn)足的必要條件?！?.5證明了道近問(wèn)題的解收斂于原控制問(wèn)題的解。由于控制泛函非凸,一般來(lái)說(shuō)沒(méi)有唯一性。最后一小節(jié)在假設(shè)T比較小的情況下,得到了極小元的局部唯一性。
　　第三章則主要從理論分析角度討論問(wèn)題P2?！?.1分析了P2的強(qiáng)不適定性。問(wèn)題P2與問(wèn)題P l不同,直接利用附加條件整體重構(gòu)未知系數(shù)q(x,t)難以克服數(shù)值不穩(wěn)定的缺陷?！?.2將重構(gòu)q(x,t)的反問(wèn)