Quantic格與Quantale中若干問題的研究.pdf

1、為了給量子力學(xué)建立新的數(shù)學(xué)模型， C．J．Mulvey在1986年研究非可換C<'*>-代數(shù)的譜理論時(shí)，首次提出用一種非可換的二元運(yùn)算&來代替拓?fù)淇臻g開集格中的交運(yùn)算，并稱這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)為Quantale．1990年D．Yetter給出了Girard提出的作為理論計(jì)算機(jī)科學(xué)邏輯支持系統(tǒng)的線性邏輯與Quantale理論之間的密切關(guān)系，從此， Quantale理論的研究受到了國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注．在短短的二十年中有關(guān)Quantale理論的大量

2、新的觀點(diǎn)及應(yīng)用不斷被揭示．本文一方面在這些成果的基礎(chǔ)上運(yùn)用Frame理論的研究思想對(duì)Quantale理論的一些代數(shù)性質(zhì)和拓?fù)涮卣髯髁诉M(jìn)一步的研究，從而豐富了Quantale理論的內(nèi)容．另一方面，本文從范疇論的角度討論了作為量子邏輯支持系統(tǒng)的Quantic格的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和范疇性質(zhì)，這在一定程度上推廣了Quantale理論．本文的主要內(nèi)容安排如下： 第一章預(yù)備知識(shí)．本章給出了與本文有關(guān)的格論、拓?fù)鋵W(xué)、Quantale理論和范疇論方面的

3、一些概念和結(jié)果． 第二章Quantale中的濾子．本章首先在雙邊Quantale中定義了濾子的概念，給出了Quantale中濾子的一系列等價(jià)刻畫．研究了Quantale上的濾子空間的拓?fù)涮卣鳎玫搅薗uantale上的濾子空間滿足T<,0>分離性的充要條件．其次，本章給出了Quantale中素濾子的定義，討論了Quantale上的對(duì)偶素譜空間的拓?fù)湫再|(zhì)．證明了“Dspec：Quant<'op>→ComTop<'T<,0>>是函子

4、”等一系列有趣的結(jié)論．最后，本章給出了Quantale上的模糊濾子的概念，系統(tǒng)地研究了Quantale中的濾子與模糊濾子之間的關(guān)系，找到了QuaIltale態(tài)射與模糊濾子之間的內(nèi)在聯(lián)系． 第三章Quantale連通性．本章把Frame理論中的連通和局部連通的定義推廣到了右側(cè)冪等Quantale中，研究了連通和局部連通Quantale的一系列性質(zhì)，得到了Quantale連通的充要條件．證明了與Frame理論中有關(guān)連通性的經(jīng)典命題相

5、對(duì)應(yīng)的結(jié)論在Quantale理論中仍然成立． 第四章Girard Quantale．本章首先研究了Girard Quantale中的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論了該結(jié)構(gòu)中各種運(yùn)算之間的關(guān)系，給出了Girard Quantale的若干等價(jià)刻畫．其次，本章對(duì)Girard Quantale中的循環(huán)對(duì)偶元作了系統(tǒng)的研究，給出了GirardQuantale中循環(huán)對(duì)偶元不唯一的實(shí)例．得到了Girard Quantale中循環(huán)對(duì)偶元唯一的充分條件．證明了一

6、個(gè)Girard Quantale中的循環(huán)對(duì)偶元之集與滿足一定條件的一元算子之集是一一對(duì)應(yīng)的． 第五章Quantic格范疇． Quantic格可以看成是Quantale與Prequantale的一種推廣，它在量子邏輯的研究中有著重要的作用．本章首先討論了Quantic格的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，研究了子Quantic格和商Quantic格的若干性質(zhì)．給出了Quantic格同余和Quantic格核映射的定義．證明了一個(gè)Quantic格上的全體核映