跳擴散模型在風險理論中的應用.pdf

1、集體風險理論主要用來研究保險公司的風險行為，百年來一直備受關注，是精算數學中重要的一支。其經典模型由Lundberg在1903的論文(Lundberg(1903))中引進，而后經過Haralld Cramer等人的努力，使得模型在數學上的定義更為嚴謹，被大多數人接受。經典模型，同時也被稱為Cramer—Lundberg風險模型，將所討論的公司模型刻畫為復合Poisson過程，在很多方面得到了應用和發(fā)展。Gerber(1970)提出的帶干

2、擾的復合Poisson模型和Andersen(1957)提出的更新模型，也就是Sparre Anderson模型就是其中比較有名的成功的例子。伴隨模型的發(fā)展和豐富，多種多樣的理論，方法和函數被引入風險理論的研究中。比如，更新理論，Winener-Hoff程，Ito公式，逐段決定馬氏過程還有鞅方法都是風險理論及其相關領域中比較常用的方法。Gerber and Shiu(1997，1998a)在古典模型中引入Gerber-Shiu罰金函數，

3、使得在精算中最重要三個變量，破產時間，破產赤字，破產前盈余，完美的統(tǒng)一在一起，之后由Tsai and Willmot(2002)發(fā)展到帶干擾的模型中。
　　 與此同時，帶分紅策略下的風險模型也是風險理論中備受關注的問題。當然這部分也是由于模型本身所具有的現實意義所決定的。分紅，即是指將公司的部分所得作為紅利分發(fā)給公司所有者或股份參與者。自然，對于這些受益人而言，他們不僅關心公司目前的經濟狀態(tài)，更關心的是采取怎么樣的分紅策略才能使

4、自己的收益以一定的折現率折現后盡可能的大，即所謂的最優(yōu)分紅問題。根據不同的客戶要求，或者說在不同的分紅限制下，最好的分紅策略自然是不同的?，F在比較公認的好策略有兩種，一種是帶分紅壁的分紅策略，另外一種是門檻分紅策略，他們已經被證明是在相應的限制下最優(yōu)的。這兩種分紅策略下的風險模型將在第2章和第3章討論。另外，近來一種稱為多門檻的分紅策略也被引入風險模型中，并且引起了很多人的注意。多門檻策略下的馬氏調節(jié)過程也在本論文的第4章進行了討論。<

5、br>　　 基于上述的背景，我的博士畢業(yè)論文主要是致力于對一些分紅模型中的Gerber-Shiu罰金函數以及期望折現分紅函數進行研究。
　　 第1章主要簡介了本論文的研究背景及本畢業(yè)論文的結構和內容。
　　 第2，3章主要研究所涉函數的邊界可微性，證明了所討論的函數在分紅邊界是一階可微的。第2章中，我們討論了在門檻分紅策略下帶干擾的復合Poisson模型，對這個模型的期望折現分紅函數和Gerber-Shiu罰金函數進行

6、了研究，證明了他們在分紅邊界的可微性，并借助積分微分方程的常規(guī)處理方法，給出了他們的表達式。
　　 在第3章中，受Avanzi et al.(2007)中所討論的模型的啟發(fā)，我們研究了帶壁分紅策略下，受布朗運動干擾的對偶模型，并計算了這個模型的期望折現分紅函數。以證明函數在分紅邊界的可微性為第一目的，然后用通常的方法對這個函數進行了求解。
　　 在第4章中，我們先研究了一類更新的跳擴散模型，并將結論推廣到了受馬氏過程調節(jié)