測(cè)度鏈上p-Laplacian邊值問(wèn)題與Hamiltonian系統(tǒng)的周期解.pdf

1、測(cè)度鏈上動(dòng)力方程理論不但可以統(tǒng)一微分方程和差分方程、更好地洞察二者之間的本質(zhì)差異，而且還可以更精確地描述那些有時(shí)在連續(xù)時(shí)間出現(xiàn)而有時(shí)在離散時(shí)間出現(xiàn)的現(xiàn)象.所以，研究測(cè)度鏈上動(dòng)力方程既有理論意義，又有現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ). 類似于微分方程和差分方程，非線性項(xiàng)變號(hào)的邊值問(wèn)題同樣是一個(gè)困難且重要的問(wèn)題.為此，我們研究了測(cè)度鏈上非線性項(xiàng)變號(hào)的p-Laplacian奇異多點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性.借助于上下解方法和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，獲得了在廣

2、義Dirichlet，廣義Robin及非線性Robin邊值條件下非線性項(xiàng)變號(hào)的p-Laplacian奇異多點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的一些新的存在性法則. 對(duì)于非奇異邊值問(wèn)題，我們首先考慮了測(cè)度鏈T上的p-Laplacian多點(diǎn)廣義Neumann邊值問(wèn)題正解的存在性.利用Krasnosel'skii不動(dòng)點(diǎn)定理、廣義的Avery-Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理以及Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)理論.獲得了至少有一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)和任意奇數(shù)個(gè)正

3、解的新的充分條件，建立了p-Laplacian多點(diǎn)廣義Neumann邊值問(wèn)題正解的存在性理論.為了進(jìn)一步考慮解的特性，我們借助于對(duì)稱技巧和五泛函不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了測(cè)度鏈T上一類p-Laplacian兩點(diǎn)邊值問(wèn)題至少有三個(gè)正對(duì)稱解的存在性條件.此外，利用偽對(duì)稱技巧和五泛函不動(dòng)點(diǎn)定理，得到了一類p-Laplacian三點(diǎn)邊值問(wèn)題三個(gè)正偽對(duì)稱解的存在性準(zhǔn)則. 我們知道，變分理論是非線性分析中非常有力的工具，能否在測(cè)度鏈分析中發(fā)揮類似的

4、作用，是人們非常關(guān)注的問(wèn)題.然而，正如美國(guó)數(shù)學(xué)評(píng)論員.Ahlbrandt在評(píng)論(MR1962542)中指出，目前所使用的Hilger積分僅僅依賴于原函數(shù)，而所謂的“△積分”和“▽積分”又分別是一類Darboux積分和修改了的Riemann和的極限.這些積分的缺陷嚴(yán)重阻礙了測(cè)度鏈上變分理論進(jìn)一步發(fā)展，從而使目前的積分理論很難將變分理論應(yīng)用到測(cè)度鏈分析理論中去.鑒于這種理論背景，Rynne(JMAA，2007)引入了一種測(cè)度鏈-T上的新積分