帶交易費(fèi)路徑依賴期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題和數(shù)值計(jì)算.pdf

1、期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)中的核心問(wèn)題之一,Black,Scholes和Merton,用無(wú)套利復(fù)制方法,得到了期權(quán)定價(jià)公式,這一開創(chuàng)性工作被譽(yù)為現(xiàn)代金融理論的一次革命。
　　 和傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題比較,本文主要研究在帶固定比例交易費(fèi)率的不完全市場(chǎng),對(duì)路徑依賴期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。我們研究了有路徑依賴期權(quán)交易的價(jià)值函數(shù)性質(zhì),其滿足的變分不等方程,數(shù)值計(jì)算的離散格式,以及收斂性。
　　 第一章引言部分,介紹完全市場(chǎng)下期權(quán)定價(jià)方法,不完全

2、市場(chǎng)下期權(quán)的定價(jià)方法,重點(diǎn)講敘Merton最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題及該思想應(yīng)用到不完全市場(chǎng)期權(quán)定價(jià)。介紹了完全市場(chǎng)中普通期權(quán),路徑依賴期權(quán),美式期權(quán)的定價(jià)發(fā)展過(guò)程。簡(jiǎn)要說(shuō)明了偏微分方程粘性解的發(fā)展過(guò)程。指出了本文的主要工作和創(chuàng)新。
　　 第二章我們介紹了預(yù)備知識(shí),包括完全市場(chǎng)下的期權(quán)定價(jià)方法,偏微分方程粘性解理論,算術(shù)平均亞式期權(quán)插值離散收斂性,Merton最優(yōu)投資消費(fèi)問(wèn)題。
　　 其中完全市場(chǎng)的期權(quán)定價(jià)方法主要有兩種,一種采用

3、自融資復(fù)制策略,另一種采用對(duì)沖策略。自融資復(fù)制策略中,介紹了自融資策略的定義,等價(jià)形式,風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度,未定權(quán)益在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的表示形式。對(duì)沖策略中,介紹了對(duì)沖策略的定義,以及Black-Scholes的推導(dǎo)過(guò)程。
　　 偏微分方程粘性解理論中,介紹了偏微分方程粘性解的定義及等價(jià)定義,偏微分方程邊值問(wèn)題粘性解的定義,狀態(tài)約束粘性解的定義及等價(jià)定義。介紹了偏微分方程邊值問(wèn)題粘性解滿足的比較原理以及狀態(tài)約束粘性解滿足的比較原理。

4、r>　　 算術(shù)平均亞式期權(quán)插值離散收斂性中,介紹了算術(shù)平均亞式期權(quán)的離散格式及插值形式。對(duì)離散形式我們給出了截?cái)嗾`差及其證明,對(duì)插值形式我們給出了插值誤差及其證明。
　　 Merton最優(yōu)投資組合問(wèn)題中,介紹了Merton問(wèn)題及其對(duì)應(yīng)的HJB方程,在一定情形下給出顯式表達(dá)式。
　　 第三章考慮存在固定交易費(fèi)率市場(chǎng),有路徑依賴期權(quán)交易對(duì)應(yīng)的價(jià)值函數(shù)的研究。給出了價(jià)值函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)的變分不等方程。
　　 其中價(jià)值

5、函數(shù)的研究中,建立了數(shù)學(xué)模型,給出了對(duì)應(yīng)價(jià)值函數(shù)的定義及性質(zhì)。價(jià)值函數(shù)的性質(zhì)包括凸凹性,有界性,齊次性等。給出了期權(quán)的定價(jià)公式及其意義,并證明了在一定條件下與復(fù)制策略定義的期權(quán)價(jià)格的等價(jià)性。
　　 給出價(jià)值函數(shù)對(duì)應(yīng)的變分不等方程,證明了價(jià)值函數(shù)是對(duì)應(yīng)變分不等方程的唯一約束粘性解。通過(guò)構(gòu)造嚴(yán)格上解,給出變分不等方程滿足的強(qiáng)比較原理,其證明參見第五章。在特殊情形下,給出了價(jià)值函數(shù)的顯式表達(dá)式,證明其是變分不等方程的約束粘性解。

6、>　　 第四章考慮存在固定交易費(fèi)率市場(chǎng),有路徑依賴期權(quán)交易對(duì)應(yīng)的價(jià)值函數(shù)數(shù)值算法。采用馬氏鏈方法進(jìn)行離散,并對(duì)離散格式進(jìn)行分析。特殊情形下,采用數(shù)學(xué)歸納法,得到無(wú)期權(quán)交易時(shí)價(jià)值函數(shù)的交易策略。在特殊效用函數(shù)下,對(duì)價(jià)值函數(shù)進(jìn)行降維,給出降維后價(jià)值函數(shù)滿足的變分不等方程以及離散格式。最后對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值分析。
　　 其中離散格式分析中包括變量的離散,變分不等方程的離散格式,邊界上交易策略的存在性,有界性,內(nèi)部點(diǎn)交易策略的存在性

7、,有界性。最后通過(guò)延拓函數(shù),證明離散格式的收斂性。
　　 第五章考慮存在固定交易費(fèi)率市場(chǎng),帶跳擴(kuò)散的路徑依賴期權(quán)數(shù)值算法。
　　 建立了有跳擴(kuò)散浮動(dòng)敲定價(jià)格路徑依賴期權(quán)交易對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)期望最大化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上給出期權(quán)定價(jià)公式,通過(guò)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理,給出價(jià)值函數(shù)滿足的變分不等方程,并證明價(jià)值函數(shù)是變分不等方程的唯一約束粘性解。
　　 通過(guò)構(gòu)造嚴(yán)格上解,將無(wú)界區(qū)域轉(zhuǎn)化到有界區(qū)域,運(yùn)用ISHII技巧證明變分不

8、等方程滿足強(qiáng)比較定理。
　　 采用馬氏鏈方法進(jìn)行離散,在選取恰當(dāng)?shù)碾x散參數(shù)下,證明了當(dāng)步長(zhǎng)趨于零時(shí),離散格式對(duì)應(yīng)的延拓函數(shù)是對(duì)應(yīng)變分不等方程的約束粘性解。
　　 第六章考慮市場(chǎng)同時(shí)存在不同借貸利率,固定交易費(fèi)率,購(gòu)買一份路徑依賴美式浮動(dòng)敲定價(jià)格看漲期權(quán)對(duì)應(yīng)的效用函數(shù)期望最大化問(wèn)題,給出了不完全市場(chǎng)下價(jià)值函數(shù)所滿足的變分不等方程。
　　 通過(guò)馬氏鏈給出了變分不等方程的離散格式,證明了在粘性意義下離散格式的收斂性。最