第3章復變函數(shù)的積分

1、第3章 復變函數(shù)的積分,復變函數(shù)積分理論是復變函數(shù)的核心內容，關于復變函數(shù)的許多結論都是通過積分來討論的，更重要的是我們要討論解析函數(shù)積分的性質，并給出解析函數(shù)積分的基本定理與基本公式，這些性質是解析函數(shù)理論的基礎，我們還將得到解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析函數(shù)這個重要的結論。,3.1: 復變函數(shù)的積分,3.2: 柯西-(古薩)積分定理,3.3: 復合閉路定理,3.4: 科西積分公式,3.5: 解析函數(shù)的高階導數(shù),3.6: 幾個重要的定理

2、,3.7: 解析函數(shù)與調和函數(shù),本章補充新題型,本章小節(jié),本章測試題,本章基本內容:,重點內容:,(1) 柯西積分定理(單、復連通區(qū)域);,(4) 調和函數(shù)的應用；,(2) 柯西積分公式(單、復連通,無界區(qū)域);,(3) 高階導數(shù)公式及其應用;,3.1 復變函數(shù)的積分,3.1.1 復變函數(shù)積分的概念 在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點

3、和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的：,定義3.1.1 有向曲線 在討論復變函數(shù)積分時，將要用到有向曲線的概念，如果一條光滑或逐段光滑曲線規(guī)定了其起點和終點，則稱該曲線為有向曲線，曲線的方向是這樣規(guī)定的： (1) 如果曲線 是開口弧段，若規(guī)定它的端點 為起點， 為終點，則沿曲線 從 到 的方向為曲線 的正方向（簡稱正向），把正向曲線記為 或

4、 . 而由 到 的方向稱為的負方向（簡稱負向），負向曲線記為 .,,,,,,,,,,,,,,(2) 如果 是簡單閉曲線，通常總規(guī)定逆時針方向為正方向，順時針方向為負方向．(3) 如果 是復平面上某一個復連通域的邊界曲線，則 的正方向這樣規(guī)定：當人沿曲線 行走時，區(qū)域總保持在人的左側，因此外部邊界部分取逆時針方向，而內部邊界曲線取順時針為正方向．,,,,,定義3.1.2 復變函數(shù)的

5、積分 設函數(shù) 在給定的光滑或逐段光滑曲線 上有定義，且 是以 為起點， 為終點的一條有向曲線，如圖3.1所示．把 曲線任意分成n個小弧段，設分點依次為 ,在某小弧段 上任意取一點 ，并作和

6、 其中 ，記 的最大長度為,,,,,,,,,,,,則當n無限增大，且 時，如果無論對L的分法及 的取法如何，都有惟一的極限存在，那么稱這個極限值為函數(shù)沿曲線L的積分，記作 ，即

7、 我們稱之為復變函數(shù)的積分，簡稱復積分．,,,,,,,,定義3.1.3 閉合環(huán)路積分 當L為封閉曲線時，那么沿L的積分為， 并稱為復變函數(shù) 的閉合環(huán)路積分（簡稱環(huán)路積分）. 為了方便，我們還可以在積分中標出環(huán)路積分的方向, 若沿逆時針方向積分，可用環(huán)路積分

8、 表示. 若沿順時針方向積分，可用 表示.,,,,由此可知，當 ，且小弧段長度的最大值 時，不論對L的分法如何，點 的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，由于 連續(xù)，則 都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得

9、到 (3.1.3),,,,,,,即我們可以把復積分 的計算化為兩個二元實變函數(shù)的曲線積分．為便于記憶公式，可把 理解為 ，則

10、 上式說明了兩個問題： (1) 當 是連續(xù)函數(shù)，且L是光滑曲線時，積分 一定存在； (2) 可以通過兩個二元實變函數(shù)的線積分來計算.,,,,,,,,3.1.3 復積分的基本性質,(1)若 沿 可積，且 由 和 連接而成，則

11、 （3.1.6） (2) 常數(shù)因子 可以提到積分號外，即 （3.1.7） (3) 函數(shù)和（差）的積分等于各函數(shù)積分的和（差），即,,,,

12、,,,,,,(4)若積分曲線的方向改變，則積分值改變符號，即 （3.1.9） 為 的負向曲線．(5)積分的模不大于被積表達式模的積分，即 (3.1.

13、10) 這里 表示弧長的微分，即,,,,,,,【證明】 因為 ，其中 分別表示曲線 上弧段 對應的弦長和弧長，兩邊取極限就得到,,,,,（6）積分估值定理 若沿曲線 ， 連續(xù)，且 在 上滿足

14、 ，則 (3.1.11)其中 為曲線 的長度．,,,,,,,,,【證明】 由于 在 上恒有 ，所以又 ，則

15、成立。,,,,,,,3.1.4 復積分的計算典型實例,公式（3.1.2）提供了一種復積分的計算方法，即把復積分的計算轉化為兩個二元實函數(shù)的曲線積分．當曲線積分的積分路徑C由參數(shù)方程給出時，復積分又可以轉化為單變量的定積分． 例3.1.1 計算 ，其中C為從原點到點3+4i的直線段．,,,【解】 直線的方程可寫成 或 于是 又因 由高等數(shù)學理論，其復積分的實部、虛部滿足實積分

16、與路徑無關的條件，所以 的值不論 是怎樣的曲線都等于 ，這說明有些函數(shù)的積分值與積分路徑無關．,,,,,,,,3.1.5 復變函數(shù)環(huán)路積分的物理意義,而且有對應關系

17、則,,,,,,,,,,故復變函數(shù)的環(huán)路積分為 由場論知識可知：閉合環(huán)路積分 的物理意義為, 實部 表示向量場 沿 曲線的環(huán)量．虛部 表示向量場沿曲線 的通量．,,,,,,,,3.2 柯西積分定理,早在1825年柯西給出了如下定理，它是復變函數(shù)論中的一條基本定理，現(xiàn)稱為柯西積分定理（簡稱柯西定理）． 定理3.2.1 柯西積分定理 如果

18、函數(shù) 在單連通區(qū)域 內及其邊界線L上解析（即為在單連通閉區(qū)域 解析），那么函數(shù) 沿邊界L或區(qū)域 內任意閉曲線 的積分為零，即 （3.2.1） 或 （3.2.2）,,,,,,,證明：如圖 3.2所示，由于對函數(shù)

19、 在閉區(qū)域解析概念的理解，故函數(shù)的導數(shù)即 在區(qū)域內部及其邊界是存在的，而且可以證明也是連續(xù)的．再根據(jù)格林定理有,,,,,,由于函數(shù)在閉區(qū)域解析，故滿足C-R條件代入即得,如果我們在該閉區(qū)域 內任選某一單連通閉區(qū)域 ，其邊界為 ．由上述推導中 將 , 則同理可證明 故結論成立. 這個定理是柯西(Cauchy)于

20、1825年發(fā)表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又稱為柯西－古莎定理.,,,,說明：[1]根據(jù)第二章，函數(shù)在單連通區(qū)域D內及閉曲線L上解析，即為在閉區(qū)域 解析，我們應該理解為函數(shù)在比邊界稍大一些的區(qū)域內部也是解析的； [2]邊界正方向規(guī)定：當沿邊界線環(huán)行時，其邊界線所包圍的解析區(qū)域始終在左邊，則前進的方向為邊界線的正方向．據(jù)此規(guī)定，故有界單連通區(qū)域積分的邊界線沿逆時針方向為正方向．

21、而對于有界復連通區(qū)域，外邊界取逆時針為邊界線的正方向，內邊界取順時針方向為正方向．（注意：對于無界區(qū)域則相反，內邊界取順時針方向為邊界線的正方向）；,[3]格林（Green）定理（或格林公式：在單連通區(qū)域內，若 有連續(xù)的偏導數(shù)，則 其中L是區(qū)域 的邊界； [4]進一步指出，經(jīng)修改后的柯西－古薩積分定理成立的條件可以弱化為在區(qū)域 內解析

22、，在邊界上連續(xù)．以后使用中，當滿足此條件時柯西積分定理仍然成立．,,3.2.2 不定積分：復積分的牛頓－萊布尼茲公式,定理3.2.3 由定理 3.2.2 知道，解析函數(shù) 在單連通域 內的積分只與起點 和終點 有關，假設 是區(qū)域 內連接 和 的兩條簡單曲線，則 和 分別稱為積分的上限和下限，當下限 固定，而上限 在 內

23、變動時，積分 可以看作是上限的函數(shù)，記為 （3.2.4） 對 ，有以下的定理．,,,,,,,,,,,,,定理 3.2.4 如果

24、 在單連通域 內處處解析，則 在D內也解析，并且,【證明】 令 則 因為 和 是與路徑無關的，因此,,,,,,定理3.2.5 任何兩個原函數(shù)相差一個常數(shù)． 【證明】 若 均為 的原函數(shù)，則

25、 利用原函數(shù)這個關系，我們可以得出： 定理3.2.6 若函數(shù) 在單連通域內處處解析， 為 的一個原函數(shù)，那么 其中 , 為 中任意兩點．上式稱為復積分的牛頓－萊布尼茲公式：,,,,,,,,,3.2.3 典型應用實例,例3.2.2 （非閉合環(huán)路積分中的換元積分法） 計算積分,,【解法1】,在整個復平面上

26、解析，且,運用復積分的牛頓－萊布尼茲公式有,【解法2】換元積分法 令,，則當,，有,；當,，有,所以,,例3.2.3 求積分 并判斷閉合環(huán)路積分 中換元積分法是否成立．,,【解法1】 作積分變換得：,?,例3.2.4 計算積分,因而積分與路徑無關，可用分部積分法得,,【解】 由于,在復平面內處處解析，,3.2.4 柯西積分定理的物理意義,3.3 復合閉路定理,不失一般性

27、，取n＝1進行證明. 有下述定理：,（1） （3.3.3）（2） (3.3.4),定理3.3.2 設 L和 為復連通區(qū)域內的兩條簡單閉曲線，如圖3.5所示， 在L內部且彼此不相交，以 和L為邊界所圍成的閉區(qū)域 全含于D．則對于區(qū)域D內

28、的解析函數(shù) 有,,,,,,,,,,總結：單連通和復連通區(qū)域的柯西定理可以表述為： (i)在閉單連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿邊界線或區(qū)域內任一閉合曲線的積分為零； (ii)在閉復連通區(qū)域中的解析函數(shù)，沿所有邊界線的正方向（即外邊界取逆時針方向，內邊界取順時針方向）的積分為零； (iii) 在閉復連通區(qū)域中的解析函數(shù)，按逆時針方向沿外邊界的積分等于按逆時針方向沿所有內邊界的積分之和．

29、,關于常用積分符號的說明：為了以后計算環(huán)路積分的方便，在有界區(qū)域我們規(guī)定記號： （i） C代表取逆時針方向積分； （ii） 代表順時針方向積分； （iii）而且

30、 成立 上述定理3.3.2還說明在區(qū)域 內的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內作連續(xù)變形而改變其值．因此可得到閉路變形定理．,,,,,本定理說明：（1）設 為包含奇點 的任意曲線，且 為邊界， 為邊界內的曲線. 由圖3.6 容易看出，當積分路徑由 變形為 曲線時，考慮一個微小區(qū)域 （不

31、含奇點）的情況來分析，根據(jù)柯西定理有,,,,,,,,,,當分區(qū)無限多時，兩條直線 無限接近，且為相反方向。根據(jù)積分性質,有 故得到 綜合考慮各個小區(qū)域，自然得到 (2) 例如本章例3.1.3中，當L為以 為中心的正向圓周時： ，根據(jù)閉路變形原理，對于包含 的任何一條簡單閉曲線 ,都有

32、 成立．,,,,,,,例3.3.1 計算 ，其中 為圓周 ，且取正向． 【解】 要注意 在 內只有一個奇點 ，將 分成為

33、 ，則由閉路變形定理,,,,,,,,3.4 柯西積分公式,3.4.1 有界區(qū)域的單連通柯西積分公式 定理3.4.1 （柯西積分公式） 如果 在有界區(qū)域D處處解析，L為D內的任何一條正向簡單閉曲線，且其內部全含于D, 為L內的任一點，那么

34、 (3.4.1) 稱為柯西積分公式, 簡稱柯西公式．但一定要注意其與柯西定理稱謂上的區(qū)別．,,,,由復積分性質知道根據(jù) 在 連續(xù)，則對任意小的 對應于R足夠小，有 ．又顯見該積分的值與R無關．這就證明了 ，即為柯西積分公式,,,

35、,,,,,它表明：對于解析函數(shù)，只要知道了它在區(qū)域邊界上的值，那么通過上述積分公式，區(qū)域內部點上的值就完全確定了． 特別地，從這里我們可以得到這樣一個重要的結論：如果兩個解析函數(shù)在區(qū)域的邊界上處處相等，則它們在整個區(qū)域上也相等．,,【解】（1）注意到 在復平面內解析，而 在積分環(huán)路C內，由柯西積分公式得 （2）注意到函數(shù) 在

36、 內解析，而 在 內，由柯西積分公式得,,,,,【解】根據(jù)柯西積分公式，得到,故得到,,,3.4.2有界區(qū)域的復連通柯西積分公式,,(3.4.3),3.4.3 無界區(qū)域中的柯西積分公式,上面對柯西積分公式討論了（1）單連通區(qū)域;(2)復連通區(qū)域. 但所涉及的積分區(qū)域都是有限的區(qū)域，若遇到函數(shù)在無界區(qū)域求積分的問題又如何求解？我們可以證明如下的無界區(qū)域柯西積分公式仍然成立．,1 無界區(qū)域柯西積分公式 定

37、理3.4.3 無界區(qū)域中的柯西積分公式（當滿足 時）： 若在 某一閉曲線L的外部解析，并且當 時，則對于L外部區(qū)域中的 點有 (3.4.4)

38、 這就是無界區(qū)域的柯西積分公式．,,,,,,,【證明】 為了將柯西積分公式推廣到這一情況，以原點為中心，作一個半徑為 的大圓 ，將L和點 全部包含在內，則在 與L之間的區(qū)域 解析，如圖3.10．應用復連通區(qū)域的柯西積分公式得到 (3.4.5)

39、這一式子的左邊與 無關，右邊第二項也與 無關，因而右邊第一項也應與 無關．可以進一步證明，當 時它趨于零，由此可以肯定它恒等于零．,,,,,,,,,,事實上，當 在上 時， 因而利用積分不等式性質有 其中 表示 在圓 上的最大值，根據(jù)條件

40、 ，且注意到函數(shù)的連續(xù)性故有 時， ，由上式可知 ，且前面已經(jīng)指出，這一積分的值與 R無關，因而恒等于零：,,,,,,,,,,,,故由(3.4.5)得 這就是適用于無界區(qū)域的柯西積分公式．,,,,說明： 注意這一公式和有界區(qū)域柯西積分公式的區(qū)別： （1）有界區(qū)域中柯西積分公式中的 是閉合曲線 內部的一點，而無界區(qū)域柯西積分公式中的

41、 為 外部的一點； （2）應用有界柯西積分公式的條件是 在 內部解析，而無界區(qū)域柯西積分公式的條件是在 外部解析，且當 時 ；,,,,,,,,,,（3）應用有界區(qū)域公式的積分沿著逆時針方向進行，而無界區(qū)域的公式積分沿順時針方向進行（兩種情況下都是正方向，即為沿此方向環(huán)行時，所討論的區(qū)域在左手邊）． 故圖3.10中的取順時針方向即為正方向．,,,2.

42、無界區(qū)域的柯西積分公式應用推廣（當 不趨于零時） 定理3.4.4 假設 在某一閉曲線L的外部解析，則對于L外部區(qū)域中的點 有,,,,,,【證明】設 為包含點 的大圓周, 因為函數(shù) 在閉回路的 外部解析,故由復連通區(qū)域的柯西積分公式得 由于 在無限遠處連續(xù)，即任給 ，有

43、 ，其中 有界，于是,,對于有限遠點 ，顯然 得 故 成立． 說明：特別地，當 滿足 時，即 ，則 即退化為定理3

44、.4.3討論的情形．,,,,,,,3.5.1解析函數(shù)的無限次可微性（高階導數(shù)公式） 作為柯西積分公式的推廣，我們可以證明一個解析函數(shù)的導函數(shù)仍為解析函數(shù)，從而可以證明解析函數(shù)具有任意階導數(shù)．請?zhí)貏e注意：這一點和實函數(shù)完全不一樣，一個實函數(shù) 有一階導數(shù)，不一定有二階或更高階導數(shù)存在．,3.5 柯西積分公式的幾個重要推論,定理3.5.1 解析函數(shù) 的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導數(shù)為

45、 (3.5.1) 其中 為 的解析區(qū)域 內并包含 的任一簡單正向閉曲線，而且它的內部全屬于 ．,,,,,,,,,【證明】如圖3.11所示. 我們先證 的情況. 為了理解方便，不妨設 在邊界C上取值. 即要證. 設區(qū)域D內

46、的 點的微小變化量為 ，其中 在區(qū)域D內部取值. 根據(jù)定義 由柯西積分公式得到,,,,,,,,,,從而有,,由于函數(shù)在邊界上解析，故在邊界上連續(xù)且有界. 即存在 ，使得在邊界 上 ，設 為 到邊界 上的點的最短距離，則,,,,,,,,,,,,,再考慮到 是 與 的微小偏移量，因此可取它滿足 ， 則

47、 所以 其中L為曲線C的長度，如果令 ，那么 ，故 因為 ，所以可以重復使用前面的方法，得出,,,,,,,,,,3.5.2 解析函數(shù)的平均值公式,定理3.5.2 若函數(shù) 在閉圓 內及其圓周C上解析，則

48、 （3.5.2） 即 在圓心 的值等于它在圓周上值的算術平均值．上式稱為解析函數(shù)的平均值公式．,,,,,【證明】 我們知道　上的點可以寫成 　　由柯西積分公式有 　　則 　　這表明一個解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓

49、周上取值的平均值，式(3.5.2)稱為解析函數(shù)的平均值公式．,,,,3.5.3柯西不等式　定理3.5.3（柯西不等式） 若函數(shù)　　在圓C:　　　 內部及其邊界上解析，且　　　　 ，則,,,,,,【證明】由柯西高階導數(shù)公式 　　　 所以,,,,柯西不等式是對解析函數(shù)各階導數(shù)模的估計式，表明解析函數(shù)在解析點 的各階導數(shù)的模與它的解析區(qū)域大小密切相關．

50、,,在整個復平面上解析的函數(shù)稱為整函數(shù)．例如多項式，,及,都是整函數(shù)，常數(shù)當然也是整函數(shù)．應用柯西不等式可得到關于整函數(shù)的劉維爾定理．,,3.5.5 莫勒納定理 定理3.5.5（莫勒納Morera定理）若函數(shù) 在單連通區(qū)域 內連續(xù),且對 內的任一圍線 ，有 (3.5

51、.5) 則 在 內解析．,,,,,,利用（3.5.6）得到下列不等式 其中 代表邊界線的長度．上式兩邊開n次方得到 令 ，則 ，于是得到 用更精確的方法可以證明，只有當 取常數(shù)時，上式中的等號才成立．,,,,,,3.6 本章典型綜合實例,,【解法1】 柯西定理求解 （i

52、）當 時，則由例3.1.3 結論 (3.1.12)式，顯然有 （ii）當 時，由于已經(jīng)討論了函數(shù) 的奇點為 設可分解 即為,,,,,,,,,注意：到推導中已使用,,,【解法2】 柯西定理、柯西積分公式求解 主要討論 的情形，設 為僅包含奇點 ，又彼此不相交的小圓周（根據(jù)閉路變形原理也可以是任意小的閉合曲

53、線）則根據(jù)柯西定理（或復合閉路柯西定理）得到 在每一具體 的積分內應用柯西積分公式，并令 故有,,,,,,最后一步推導用到了第一章已證恒等式（1.8.1）上面的．,,,,,下面數(shù)學舉一簡單例子來行進檢驗： 例3.6.3　求積分 解題思路：前面的積分理論未直接涉及到此類復變函數(shù)模的積分計算．解題的關鍵是去掉模符號．利用 可去掉分母的絕對值符號，對

54、 微分后再取模即可去掉 的絕對值符號．,,,,,,【解】因為 ，且沿正方向（逆時針方向）所以輻角為 . 于是 考慮到 ，故得到,,,,,,,,,,,,當 ，故所有